N-esfera

La hiperesfera en el espacio euclídeo de dimensión 3, es la 2-esfera.

En matemática, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo $\mathbb R^{n+1} \$ , notada en general $\mathbb S^n \$ . Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Definición

Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.

La n+1-tupla de puntos (x₁,x₂,…,x_n+1) que están en una n-esfera (Sⁿ) se representa con la ecuación:

x_1^2+x_2^2+ \dots +x_{n+1}^2=R^2~

donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0)^[1]

Ejemplos:

Para n=0, la hiperesfera consta de dos puntos de coordenadas R y -R.
Para n=1, la hiperesfera es una circunferencia.
Para n=2, la hiperesfera es la esfera usual.

Ecuación de una hiperesfera

Teniendo como datos un punto fijo $Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\,$ llamado centro y el radio R, real positivo, siendo $P=(x_1,x_2,\dots,x_n)\,$ un punto cualquiera de la hiperesfera, la ecuación correspondiente es,^[2]^[3]

$\sqrt{(x_1-q_1)^2 + (x_2-q_2)^2 + \cdots + (x_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-q_i)^2} = R.$

O también en forma vectorial, la esfera de radio R y centro w en E es el conjunto de todos los puntos x que cumplen

\big \| \mathbf{x} - \mathbf{w} \big \| = R

Propiedades

Volumen

El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n, vale:

V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}\ \ ,

(1)

donde $\Gamma$ es la función gamma.

Notar la siguiente particularidad: $V_n$ tiende a cero cuando n tiende a infinito.

El volumen de una hiperfesfera, de radio R, en el espacio cuadridimensional aplicando la fórmula (1) para n = 4 resulta

V_4 = \frac{\pi^{2} R^4}{2} \ ,

y aplicando^[4] la fórmula Γ(x + 1) = x Γ ( x )

N-bola

Véase también: Bola (matemática)

El espacio encerrado por una (n-1)-esfera es una n-bola. Una n-bola es cerrada si incluye la n-esfera y abierta en caso contrario.

Ejemplos:

La 1-bola es un segmento de recta, el interior de una 0-esfera.
La 2-bola es un disco, el interior de un círculo (1-esfera).
La 3-bola es la bola ordinaria, el interior de una esfera (2-esfera).

Véase también

3-esfera
Bola (matemática)
Disco

Referencias

↑ Consistencia con la definición de hiperesfera y la fórmula de distancia en E^{n + 1}
↑ Desarrollo analítico de la definición
↑ Lang, Serge: Introducción al Análisis Matemático, ISBN 0-201-62907-0, pg. 100
↑ Edwards/Penney: Ecuaciones diferenciales elementales. Con aplicaciones, ISBN 0-13-254129-7, pg. 263

Hypersphere en Planetmath.
Weisstein, Eric W. «Hypersphere». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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