Autosimilaridad

Una curva de Koch presenta una autosimilaridad exacta infinitamente repitiente a medida que se aumenta su tamaño.

En Matemática, la autosimilaridad, a veces llamada autosimilitud o autosemejanza, es la propiedad de un objeto (llamado objeto autosimilar) en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo, por ejemplo cuando el todo tiene la misma forma que una o varias de sus partes. Muchos objetos del mundo real, como las costas marítimas, son estadísticamente autosimilares: partes de ella muestran las mismas propiedades estadísticas en diversas escalas.^[1] La autosimilaridad es una propiedad de los fractales.

Tipos de autosimilaridad

El término autosimilaridad se usa informalmente para diferentes conceptos desde el punto de vista matemática. Informalmente, todas las formas de autosimilaridad entrañan un parecido estructural entre un objeto geométrico y una parte del mismo, es decir, existe parecido a diferentes escalas. Matemáticamente pueden distintiguirse los siguientes tipos:

Autosimilaridad exacta (estricta)
Austosimilaridad estadística
Autoafinidad
Autoconformidad

Autosimilaridad exacta

Los triángulos de Sierpiński permiten observar la autosimilaridad exacta.

Se dice que hay autosimilaridad exacta cuando una o varias partes de un todo repiten exactamente su similaridad con ese todo. La autosimilaridad exacta permite la amplificación sucesiva con repetición exacta única, múltiple o infinita de las propiedades iniciales.

La autosimilaridad exacta aparece a veces en sistemas de funciones iteradas (IFS).

La invariancia de escala es una forma exacta de autosimilaridad en la que, al amplificar el tamaño, aparece una pequeña parte del objeto que es similar a la totalidad. Por ejemplo, un lado del copo de nieve de Koch es a la vez simétrico e invariante de escala; su tamaño puede ser continuamente multiplicado por tres sin que cambie su forma.

Autosimilaridad aproximada

El brócoli romanesco o coliflor romana es un ejemplo de autosimilaridad aproximada natural.

La autosimilaridad aproximada o cuasiautosimilaridad se encuentra frecuentemente en la naturaleza (autosimilaridad natural). Por ejemplo, cuando la forma de la parte y la forma del todo presentan leves diferencias en la similaridad. Generalmente sólo se cumple dentro de una porción limitada de ese todo. Puede generarse artificialmente incorporando un factor de ruido aleatorio a la expresión de una autosimilaridad exacta.

Autosimilaridad estadística

Se observa autosimilaridad estadística en las montañas.

La autosimilaridad estadística es la menos exigente. Sólo se conservan algunas propiedades estadísticas durante el cambio de escala, como en las montañas o en los cráteres lunares.

Definición

Un conjunto compacto X es autosimilar (exacto) si existe un conjunto finito de homeomorfismos no sobreyectivos $\{F_1,\dots,F_n\}$ para el cual:

(*) $X=\cup_{k=1}^n F_k(X)$ .

Si $X\subset Y$ , decimos que X es autosimilar si es el único subconjunto no vacío de Y tal que la ecuación anterior es válida para $\{ F_k \}_{k=1\dots n}$ . Decimos que

$\mathfrak{L}=(X,S,\{ F_k \}_{k=1\dots n})$

es una estructura autosimilar. Diferentes tipos de similaridad pueden obtenerse según la naturaleza de las funciones:

Si los homeomorfismos $\{F_k\}_{k=1\dots n}$ son semejanzas exactas entonces el sentido es autosimilar exacto.
Si los homemorfismos son aplicaciones afines entonces, el conjunto presentará autoafinidad.
Si los homemorfismos son aplicaciones conformes entonces, el conjunto presentará autorconformidad.

Sistemas iterativos de funciones

Muchos conjuntos autosimilares pueden ser construidos mediante una construcción llamada sistema iterativo de funciones (SIF) sobre $\R^n$ . En dicho sistema se considera un conjunto de homemorfismos, como en la definición (*), que sean contracciones $\{f_1,\dots, f_n\}$ con $n \ge 2$ :

$|F_i(x)-F_i(y)| \le r_i |x-y|, \quad r_i < 1$

Si sobre un conjunto se aplican reiteradamente los anteriores homeomorfismos contractivos (iterativamente), lo que resultará en un sistema iterativo de funciones (SIF). Una propiedad fundamental de los SIFs es que existe un "punto fijo" que es un conjunto compacto E tal que:

$E = \cup_{i=1}^n F_i(E)$

Frecuentemente ese conjunto es un conjunto fractal y su dimensión de Hausdorff D puede determinarse fácilmente, ya que es la única solución del sistema:

$\sum_{i=1}^n r_i^D = 1$

El conjunto de Cantor puede obtenerse puede obtenerse como el "punto fijo" de un un sistema iterativo de funciones. Dadas las dos funciones contractivas:

$F_1,F_2:\R\to\R, \qquad F_1(x):= \frac{x}{3}, F_2(x):= \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

De hecho, el conjunto de Cantor es el único conjunto compacto tal que:

$K = F_1(K) \cup F_2(K)$

Y por tanto su dimensión fractal puede calcularse fácilmente:

$r_1^D + r_2^D = \left(\frac{1}{3}\right)^D + \left(\frac{1}{3}\right)^D = 2\left(\frac{1}{3}\right)^D =1 \quad \Rightarrow \quad D = \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0,630\dots$

La composición de funciones produce la estructura algebraica de un monoide. Si $n = 2\,$ , el monoide es llamado monoide diádico. Éste puede verse como un árbol binario infinito. En general, para cualquier número de elementos el monoide puede ser representado como un árbol n-ádico.

Los automorfismos del monoide diádico forman el grupo modular. Los automorfismos pueden representarse como una rotación hiperbólica del árbol binario.

Ejemplos

Conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot muestra autosimilaridad exacta con el cambio de escala.

La imagen de un helecho muestra una transformación afín autosimilar.

El conjunto de Mandelbrot presenta autosimilaridad exacta al variar la escala. Muestra autosimilaridad alrededor de los puntos de Misiurewicz.

Redes informáticas

La autosimilaridad tiene importantes consecuencias en el diseño de redes informáticas: el tráfico de una típica red tiene propiedades autosimilares. Por ejemplo, en Ingeniería de tráfico, los patrones de tráfico de datos en la conmutación de paquetes se muestran estadísticamente autosimilares.^[2] Esta propiedad significa que los modelos simples que emplean una distribución de Poisson son inexactos, y es probable que las redes diseñadas sin tomar en cuenta la autosimilaridad muestren comportamientos inesperados.

Bolsa de valores

De la misma manera, los movimientos de las Bolsas de valores pueden describirse desde un aspecto de autoafinidad (en la autoafinidad la invariancia de escala es afectada por un factor anisotrópico en x-y), por ejemplo ellos se muestran autosimilares sólo si sufren determinada transformación afín para el nivel de detalle que en ese momento se muestra.^[3]

Véase también

Efecto Droste
Autorreferencia
Ley de Zipf

Referencias

↑ Benoit Mandelbrot. Wikipedia en inglés, ed. «¿Cuán larga es la costa de Bretaña? Autosimilaridad estadística y Dimensión Fraccional». (En inglés).
↑ Leland et al. Sobre la naturaleza autosimilar del tráfico de Ethernet, IEEE/ACM Transactions on Networking, Volumen 2, Número 1, febrero de 1994 (en inglés).
↑ Benoit Mandelbrot (Febrero de 1999). Scientific American, ed. «Cómo los fractales pueden explicar los errores de Wall Street». (En inglés).

Enlaces externos

"Copperplate Chevrons" — Imagen animada (Chivos en una lámina de cobre) que muestra la autosimilaridad de un fractal con el aumento de escala.
"Self-Similarity" — Nuevos artículos sobre autosimilaridad. Algoritmo de Waltz (en inglés).

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