Axiomas de los números reales

En matemáticas para que una afirmación sea considerada válida debe o bien estar contenida dentro de una base de afirmaciones de partida, los denominados axiomas, o debe poder demostrarse a partir de los mismos. Los axiomas son por tanto los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, y a partir de ellos, mediante las demostraciones matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación.

Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y que su veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas. Un axiomas no se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no resulta trivial.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Hay tres tipos de axiomas:

El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.

Existe un conjunto que tiene estas propiedades.

Axioma fundamental

Existe un conjunto que se denota por \mathbb{R} que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.

El conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los Números Reales y serán los axiomas de este conjunto, las bases de una rama muy importante de la matemática: el Análisis matemático.

Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.

Axiomas Algebraicos

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.

1. Axiomas de la adición

A1.1 Para todo x,y\in \mathbb{R}, existe un único elemento, también en \mathbb{R}, denotado por \mathit{x+y}\,\! que llamamos la suma de \mathit{x}\,\! e \mathit{y}\,\!.
A1.2 \mathit{x+y=y+x} \,\! para todo x,y\in \mathbb{R}.
A1.3 \mathit{(x+y)+z=x+(y+z)}\,\! para todo x,y,z\in \mathbb{R}.
A1.4 Existe un elemento de \mathbb{R}, denotado por \mathrm{0}\,\! tal que \mathit{x+0=x}\,\! para todo x\in \mathbb{R}.
A1.5 Para cada x\in \mathbb{R} existe un y\in \mathbb{R} tal que \mathit{x+y=0}\,\!.

2. Axiomas de la multiplicación

A2.1 Para todo x,y\in \mathbb{R}, existe un único elemento, también en \mathbb{R}, denotado por \mathit{xy}\,\! que llamaremos el producto de \mathit{x}\,\! e \mathit{y}\,\!.
A2.2 \mathit{xy=yx} \,\! para todo x,y\in \mathbb{R}.
A2.3 \mathit{(xy)z=x(yz)} \,\! para todo x,y,z\in \mathbb{R}.
A2.4 Existe un elemento de \mathbb{R}, que denotaremos por 1 \,\! tal que \mathit{1x=x1=x} \,\!
A2.5 Para cada x\in \mathbb{R} tal que no sea cero, existe un y\in \mathbb{R} tal que \mathit{xy=1}\,\!.

3. Axioma de distribución Este axioma conecta la suma con la multiplicación:

A3.1 Para todo x,y,z\in \mathbb{R}\,\,\mathit{(x+y)z=xz+yz}.

Análisis axiomático

Axiomas de orden

Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.

Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo <\,\! que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo =\,\! que ya conocemos.

Se dirá que x<y\,\! o y>x\,\! sólo si x\,\! es menor que y\,\!. O dicho de otra forma, si y\,\! es mayor que x\,\!.

De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto O \subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\! tal que x<y\,\! si y sólo si (x,y)\in O\,\!.

Se dan a continuación los axiomas de orden

O1.1 Si x,y \in \mathbb{R}\,\!, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:
x<y\,\!; x=y\,\!; x>y\,\!
O1.2 Si x<y\,\! y además y<z\,\!, entonces x<z\,\!.
O1.3 Si x<y\,\!, entonces x+z<y+z\,\! para todo z \in \mathbb{R}\,\!
O1.4 Si x<y\,\! y z>0\,\!, entonces xz<yz\,\!.

Análisis axiomático

(R,+, ⋅ , ≤) es un cuerpo ordenado.

Axioma topológico

Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente, si se quiere.

Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.

Análisis axiomático

Hay varios conceptos en esta breve afirmación (pero muy importante), que deben conocerse para entender el significado de este axioma. Éstos, son los de sucesión, creciente, acotado superiormente y convergencia.

Si tenemos una sucesión infinita de números reales \{x_i\}= (x_1, x_2,x_3, \cdots) , decimos que es creciente (débilmente) si x_i\leq x_{i+1} para todo i. La sucesión es acotada superiormente si existe una constante real c tal que x_i \leq c. En este caso, el axioma topológico dice que si la sucesión \{x_i\} es creciente y acotada superiormente, entonces es convergente, es decir, existe un número real x que es el límite de la sucesión: x=\lim_{i\rightarrow \infty} x_i.

Puede verse que los números racionales no satisfacen este axioma. Por ejemplo, si se toma la secuencia de aproximaciones decimales de \sqrt{2} donde x_1=1,4, x_2=1,41, x_3=1,414 y en general x_n es el número con las primeras n cifras decimales de \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887242097... , entonces todos los x_i son números racionales que satisfacen las condiciones del axioma, pero el límite no se encuentra en los racionales. Por otra parte, el axioma topológico nos dice que existe un número real que es el límite de cualquier sucesión que se obtenga al tomar las cifras decimales parciales de una secuencia de dígitos arbitraria. De esta forma las representaciones decimales infinitas no periódicas representan siempre números reales, y es posible demostrar que todo número real puede escribirse como el límite de una de estas secuencias, aunque no siempre de manera única.

Referencias

    Véase también

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