Axiomas de separación

Uno de los grados posibles de separación es el de los espacios T2 o Hausdorff, en que puntos diferentes siempre están separados por abiertos disjuntos.

En topología los axiomas de separación son propiedades que puede satisfacer un espacio topológico en función del grado en que distintos puntos o conjuntos cerrados pueden ser separados por medio de los abiertos de la topología.[1]

Existen varios niveles crecientes de separación que se pueden pedir a un espacio topológico. Suelen denominarse con la letra T (de Trennung, separación en alemán) y un subíndice conveniente. Así aparece una jerarquía de espacios, entre los que cabe destacar a los espacios T2 o espacios de Hausdorff, los T3 o espacios regulares y los T4 o espacios normales.

Salvo para T0, T1 y T2, los nombres de los axiomas de separación no están completamente estandarizados.[2]

Introducción

La definición de topología, en su generalidad, admite estructuras topológicas poco útiles: pensemos en un conjunto X con más de un elemento, dotado con la topología trivial (i.e. sus únicos abiertos son Ø y todo X). Esta topología no contiene abiertos que nos permitan distinguir topológicamente dos puntos diferentes: ambos puntos comparten el único entorno posible. Mirando los entornos abiertos de cada punto nos resulta imposible distinguirlos. Decimos que, a efectos topológicos, X no es diferente de un conjunto de un solo punto dotado de la topología trivial.[3]

Los axiomas de separación son requisitos sobre la topología de un espacio que garantizan la existencia de un número suficiente de conjuntos abiertos como para distinguir topológicamente puntos distintos. Los diferentes grados en que se concreta esta exigencia se plasma en los diferentes axiomas de separación.

Algunos axiomas de separación

Espacios T0 o de Kolmogórov

Un espacio topológico X se llama T_0 si y solo si para cualquier par de puntos x, y \in X existe un abierto que contiene uno de los puntos y no contiene el otro punto.

Una equivalencia a esta propiedad es la siguiente: si x, y son elementos del espacio X tales que la clausura de \{x\} y la clausura de \{y\} sean iguales entonces x = y

Espacios T_1 o Fréchet

Un espacio topológico X se dice T_1 si y solo si para cualquier par de puntos x, y de X hay un par de conjuntos abiertos A_1, A_2, tal que x esté A_1, pero no en A_2, y además y esté A_2, pero no en A_1. Una equivalencia importante es que X es T_1 si y solo si los subconjuntos de X formados por un único punto son cerrados.

Espacios T_2 o de Hausdorff

Un espacio topológico X es de Hausdorff o T_2 si y solo si para cualquier par de puntos x, y en X existe un par de abiertos disjuntos que contiene uno a x y otro a y.

Estos espacios son especialmente importantes pues además de suponer una gran cantidad de ejemplos (todos los espacios métricos son T_2), tienen propiedades fuertes como el que la convergencia de una sucesión o de un filtro, en caso de existir, sea única.

Espacios T_3 o regulares

Un espacio topológico X es regular si es T_1 y para cada punto x\in X y cualquier cerrado F\subset X tal que x no pertenece a F. Entonces existes entornos U_x y U_F tales que su intersección es vacía. Es decir, podemos separar puntos de cerrados.

Espacios completamente regulares y espacios T_{3\frac{1}{2}} o Tychonoff

Un espacio topológico X es completamente regular si para cada punto x\in X y cualquier cerrado F\subset X tal que x no pertenece a F existe una función continua f:X \rightarrow [0, 1] tal que f(x)=0 y f(F)=1.

Un espacio topológico X es de Tychonoff si es T_1 y completamente regular. También puede designarse como espacio de Hausdorff completamente regular.

Espacios T_4 o normales

Un espacio topológico X es normal si es T_1 y para cada par de cerrados F_1,F_2\subset X con intersección vacía existen unos entornos que los contengan U_{F_1} y U_{F_2} tal que su intersección sea vacía. Es decir, podemos separar todos los cerrados del espacio. En particular los espacios métricos son normales.

Separación en espacios métricos

Es fácil verificar que T_{3\frac{1}{2}} \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1 \Rightarrow T_0. Es cierto que T_4 \Rightarrow T_{3\frac{1}{2}} , aunque esto no es tan evidente, es una consecuencia del Lema de Urysohn. Un espacio métrico (X,d) con su distancia asociada es normal, Tychonoff, regular, Hausdorff, Fréchet y finalmente Kolgomorov. Es importante destacar, para evitar errores, que el recíproco no es cierto.

Veamos que es cierto que todo espacio métrico es normal o T_4 y por consiguiente es Tychonoff, regular, Hausdorff, Fréchet y Kolgomorov.

Todo espacio métrico, con su distancia (X,d) es normal.

Demostración: Sean F_1 y F_2 dos cerrados de un espacio métrico X. Para cada x\in F_1 sea r_x = d(x,F_2). Análogamente, para cada y \in F_2 sea s_y = d(y,F_1). Sea U=\bigcup_{x \in F_1} B_{\frac{r_x}{2}}(x), y sea V=\bigcup_{y \in F_2} B_{\frac{s_y}{2}}(y). Es claro que tanto U, como V son abiertos, y que F_1 \subset U y F_2 \subset V . Se afirma que U \bigcap V = \empty.

Supongamos que es falso, entonces sea z \in U \bigcap V. Quiere decir que existen x, y tal que z \in B_{\frac{r_x}{2}}(x) y z \in B_{\frac{s_y}{2}}(y). Pero eso implica que:

d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) < \frac{r_x}{2} + \frac{s_y}{2} < \max(d(x,F_2),d(y,F_1)) \leq d(x,F_2)

Lo cual es una contradicción: \Box (i.e. QED).

Por tanto todos los espacios métricos son normales, y por tanto Tychonoff, regulares, Hausdorff, Fréchet y Kolgomorov.

Referencias

  1. ↑ L. A. Steen, J. A. Seebach. Counterexamples in topology. Courier Dover Publications, 1995. ISBN 0-486-68735-X (sección 2)
  2. ↑ Runde, V. A taste of topology. Springer, 2005. ISBN 0-387-25790-X (Capítulo 3)
  3. ↑ Willard, S.. General Topology. Courier Dover Pub, 2004. ISBN 0-486-43479-6. (Capítulo 5)
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