Categoría (matemáticas)

En teoría de categorías, una categoría es una estructura algebraica que consta de una colección de objetos, conectados unos con otros mediante flechas tales que se cumplen las siguientes propiedades básicas: las flechas se pueden componer unas con otras de manera asociativa, y para cada objeto existe una flecha que se comporta como un elemento neutro bajo la composición.

Un ejemplo clásico es la categoría de conjuntos, cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son las funciones, y donde la composición de flechas es la composición usual de funciones. En general, los objetos y las flechas pueden ser objetos abstractos de cualquier tipo, y la noción de categoría provee de una manera abstracta y fundamental para describir entidades matemáticas y sus relaciones. Esta es la idea central de la teoría de categorías, una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las demás teorías matemáticas en términos de objetos y flechas. Prácticamente cualquier rama de las matemáticas modernas se puede describir en términos de categorías, y mediante esta descripción, es común que se revelen propiedades y similitudes muy profundas entre áreas aparentemente distintas. Para notas históricas y fundamentos más profundos véase teoría de categorías.

Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas, y la misma forma asociativa de componer flechas. Dos categorías también se pueden considerar equivalentes incluso si no son precisamente la misma. Muchas categorías muy cotidianas se denotan comúnmente con una abreviación del tipo de sus objetos, por ejemplo: Con se refiere a la categoría de conjuntos, Top se refiere a la categoría de espacios topológicos, Ab se refiere a la categoría de grupos abelianos, etc.

Definición

Una categoría C consta de

• una clase ob(C) de objetos
• para cada par de objetos A, B en ob(C) un conjunto C(A,B) de flechas o morfismos de A a B.
• para cada terna de objetos A, B, C de C una función ∘:C(A,B)×C(B,C)→C(A,C) donde ∘(f,g) se denota g ∘ f.

Además, los siguientes axiomas deben ser ciertos:

• (Asociatividad) para cualquier terna de flechas f,g,h se cumple que h ∘ (g ∘ f)=(h ∘ g) ∘ f, si es que estas composiciones están definidas.
• (Identidad) para todo objeto A en ob(C) existe una flecha en C(A,A) comúnmente denotada 1_A tal que para toda flecha f en C(A;B) f=1_B ∘ f y f=f ∘ 1_A.

De estos axiomas se puede deducir fácilmente que existe una única flecha identidad para cada objeto.

Historia

La noción de categoría, y en general, las primeras nociones de teoría de categorías, aparecieron por primera vez en 1945 en un artículo de Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane llamado "General Theory of Natural Equivalences" (Teoría general de las equivalencias naturales).^[1]

Ejemplos

• La categoría Con es aquella cuyos objetos son todos los conjuntos y si A y B son conjuntos, entonces Con(A,B) es el conjunto de funciones con dominio A y codominio B. Ésta es la categoría más comúnmente usada en matemáticas.

Véase también

• Categoría enriquecida
• Teoría de categorías de orden superior

Notas

1. ↑ Sica (2006), p. 223; Awodey (2006), p. 1.

Referencias

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6  (now free on-line edition, GNU FDL).
• Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991), Categories, Types and Structures, MIT Press, ISBN 0262011255 .
• Awodey, Steve (2006), Category theory, Oxford logic guides 49, Oxford University Press, ISBN 9780198568612 .
• Barr, Michael; Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories, ISBN 0387961151, archivado desde el original el 25 de noviembre de 2015  (revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
• Borceux, Francis (1994), «Handbook of Categorical Algebra», Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50–52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0521061199 .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1973), Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston .
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd edición), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 .
• Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997), Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0521472490 .
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd edición), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 .
• Marquis, Jean-Pierre (2006), «Category Theory», en Zalta, Edward N., Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Sica, Giandomenico (2006), What is category theory?, Advanced studies in mathematics and logic 3, Polimetrica, ISBN 9788876990311 .