Circunferencia

Una circunferencia (C) en negro, diámetro (D) en cyan, radio (R) en rojo, y centro (O) en magenta.

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.

Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador[1]

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.[2][3][4][5][6]

Terminología de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Resultados analíticos

Longitud de la circunferencia

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.[7] La longitud \ell de una circunferencia es:

 \ell = 2\pi r = \pi d

donde r es la longitud del radio y d=2r es el diámetro. Así pues \pi \, (número pi) es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

 \pi = \frac{\ell}{d} = \frac{\ell}{2r}

Área del círculo delimitado por una circunferencia

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, definió que el área del círculo era igual en área a un triángulo rectángulo, siendo uno de sus catetos la longitud \ell de la circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo delimitado por la circunferencia es:

 \text{Área} = \frac{1}{2}\ell r = \pi r^2

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

x^2 + y^2 = r^2\,.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,

resultando:

a = -\frac{D}{2}
b = -\frac{E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: (x_1,y_1), (x_2,y_2)\,, la ecuación de la circunferencia es:

(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,

Ecuación vectorial de la circunferencia

En el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:

\mathbf{r}(\theta) =(R\cos(\theta),R\sen(\theta))\,,

donde \theta \, es el parámetro de la curva, además cabe destacar que \theta\in[0,2\pi). Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R3 esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.

De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R2) y r un real positivo, la ecuación vectorial

\| \mathbf{x}-\mathbf{c} \|= r

representa una circunferencia de centro c y radio r.[8] La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.

Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,

 r=c. \,

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s,\alpha) \, y el radio es c \,, la ecuación se transforma en:

r^2 - 2 s r\cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

Ecuación paramétrica de la circunferencia

La circunferencia con centro en (a, b) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como:


\begin{cases}
x= & a + r \cos t \\
y= & b + r\,\sen t
\end{cases} \qquad t\in[0,2\pi)

donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como


\begin{cases}
x= & a+r\left ( \frac{1-t^2}{1+t^2}\right )\\
y= & b+r\left ( \frac{2t}{1+t^2}\right )
\end{cases} \qquad t \in \widehat{\mathbb{R}}

donde t no sólo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.[9]

Ecuación en el plano complejo

En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación |z-c| = r\,. En forma paramétrica puede ser escrita como z = re^{it}+c.

Propiedades geométricas

La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

Dos circunferencias

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

Ángulos en una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales

Par de diámetros conjugados en una elipse

Para construir una circunferencia en el plano oblicuo, no se puede usar la misma ecuación que se usa en un plano ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos conceptos que nos ayudarán a entender la construcción de tal ecuación. Tales conceptos son los de trigonometría. Dos diámetros de una sección cónica se denominan conjugados cuando toda cuerda paralela a uno de ellos es bisecada por el otro. Siguiendo esto, dos diámetros de la circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente conjugados. En una elipse dos diámetros son conjugados si y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de un diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.

Se debe tener presente que en este plano una ecuación de circunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por esta razón que se descarta la ecuación anterior, porque en el plano oblicuo no parecerá circunferencia, sino una elipse.

Otras propiedades

Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.

\det\begin{bmatrix}
x & y & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.

Familia de circunferencias

Lehmann menciona las siguientes [11]

  1. Circunferencias que tienen el mismo centro.
  2. Circunferencias que pasan por dos puntos.
  3. Circunferencias tangentes a una recta en un punto fijo.
  4. Circunferencias que pasan por las intersecciones de dos circunferencias.

Circunferencia en topología

En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar los dos extremos de un intervalo cerrado.[12] Sin embargo, los geómetras llaman 2-esfera a la circunferencia, mientras que los topólogos se refieren a ella como 1-esfera y la indican como S^1\,\!, dando lugar a posibles confusiones[13].

La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco — esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado — y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1.[14]También el caso de una poligonal cerrada.

Circunferencias especiales

Circunferencias de Cardanus

Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano [15]

Circunferencia directriz

Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la llamada circunferencia directriz [16] .

Circunferencia osculatriz

Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada circunferencia osculatriz[17] [18]

Véase también

Referencias

  1. Editorial Bruño: Geometría Superior
  2. "Introducción a la geometría" Eugenio Roanes Macías. Anaya editorial. 1.ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X
  3. "Geometría Diferencial" Antonio López de la Rica, Agustín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6
  4. "Geometría analítica del plano y del espacio". Jesús M. Ruiz. Anaya, 1.ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8
  5. "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1
  6. "Cálculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006. ISBN 970-10-5274-9
  7. Boyer: Historia de la matemática
  8. Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I
  9. Consúltese para el caso en Geometría analítica de Pastor, Santaló y Balanzat, pág. 76
  10. Correlacionando con conceptos básicos de topología general
  11. Lehmann, Charles H. Geometría Analítica (1980) Editorial Limusa, S. A. Mexico 1, D.F. p.110
  12. Diccionario de términos de topología empleados por Jacques Lacan.
  13. Weisstein, Eric W. «Circle». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 2016.
  14. Kazimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología, Editorial Vicens Vives, Barcelona, España, 1966
  15. Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-0832-7
  16. Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-0832-7
  17. Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-0832-7
  18. Cf. Barrett O'Neill. Elementos de Geometría Diferencial pág. 80 Limusa Wiley

Enlaces externos

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