Conjunto conexo

Un conjunto conexo es un subconjunto $C\subseteq X$ de un espacio topológico $(X,{\mathcal {T}})\,$ (donde ${\mathcal {T}}\,$ es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser descrito como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología.

Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se puede 'dividir'. Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es disconexo.

Formalmente, $C\subseteq X$ es un conjunto conexo si y sólo si

$A,B\in {\mathcal {T}},A\cap B\cap C=\emptyset ,C\subseteq A\cup B$ implica $C\subseteq A\vee C\subseteq B$

Notar que si $C=X$ , entonces tendremos que $X$ es conexo si y sólo si $A,B\in {\mathcal {T}},A\cap B=\emptyset ,A\cup B=X$ implica $A=X\vee B=X$ . En este caso, $(X,{\mathcal {T}})\,$ se llama espacio topológico conexo.

Bajo estas definiciones, se tiene que $C\subseteq X$ es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.

Ejemplos

El espacio A es conexo.
El espacio B no lo es.

Conjuntos conexos

Las esferas $S^{n},n\geq 1,$ son conexas
Un punto en $\mathbb {R} ^{n}$ es conexo
Un nudo es un conjunto conexo en $S^{3}\,$
Un toro es un conjunto conexo en $\mathbb {R} ^{3}$
En $\mathbb {R}$ , un intervalo cerrado por la derecha o por la izquierda es un conjunto conexo; de igual modo un punto de la recta.
El complementario de un punto en $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2,$ es conexo

Subconjunto conexo en la recta

Sea $\mathbb {R}$ provisto de la topología usual $T_{u}$ , además $J$ un intervalo de $\mathbb {R} ,M$ y $N$ subconjuntos abiertos de $\mathbb {R}$ tales que $J$ es parte de la unión de $M$ y $N,\,\,J\cap M\cap N=\emptyset$ . Entonces $J\cap M=\emptyset \,\,\vee J\cap N=\emptyset$ . En este caso $J$ es un subconjunto conexo de la recta real.

Un subconjunto $H$ de la recta es un subconjunto conexo de la recta real cuando, y sólo cuando es un intervalo. De cualquier intervalo basta retirar un punto, lo que queda ya no es conexo, tampoco lo es el conjunto $K=\{{\frac {1}{n}},{\textbf {para}}\,n\,{\textbf {entero\,positivo}}\}$ ^[1]

Conjuntos disconexos

El complementario de un punto en $\mathbb {R}$
El conjunto formado por la unión de dos esferas disjuntas en $\mathbb {R} ^{n}$
Un enlace de $n\,$ componentes (nudos), $n\geq 2$

Propiedades de los conjuntos conexos

Se cumple que si $(X,{\mathcal {T}})\,$ es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será. Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos: $C\subseteq X$ es un conjunto conexo si y solamente si para toda función $f\colon C\to \{0,1\}\$ continua, se cumple que $f$ es una función constante, donde a $\{0,1\}$ se le dota de la topología discreta.

Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si $({X_{i},{\mathcal {T}}_{i}})_{i\in I}$ es una familia de espacios topólogicos conexos (con $I$ un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces $(\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}})$ también es conexo, donde ${\mathcal {T}}$ es la topología producto.

Por último, si $X$ no es conexo, es decir, si existen abiertos $U,V$ disjuntos no vacíos tales que su unión es $X$ , es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: $X$ será conexo si y sólo si los únicos clopen son $X$ y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Conexidad por caminos

Artículo principal: Espacio conexo por caminos

Diremos que un conjunto $X$ es conexo por caminos o arco conexo si dados $x_{1},x_{2}\in X$ existe un camino continuo $\alpha :[0,1]\rightarrow X$ tal que $\alpha (0)=x_{1}$ y $\alpha (1)=x_{2}$ .

La conexidad por caminos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo, $X=A\cup B$ , donde $A=\{(0,1)\}$ y $B=((0,1]\times \{0\})\cup \left(\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}\times [0,1]\right)$ . $X$ es conexo, pero no conexo por caminos.

Ser conexo por caminos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por caminos, cualquier subconjunto de éste no es necesariamente conexo por caminos). Sin embargo, ser conexo por caminos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por caminos es conexa por caminos).

Componentes conexos

Dado un espacio topológico $(X,{\mathcal {T}})\,$ se llama componente conexo, a cada uno de los conjuntos maximales conexos. Es decir un subconjunto $Y\subset X\,$ es un componente conexo si se cumplen estas dos condiciones:

$Y\subset X\,$ es conexo.
Cualquier conjunto $Z\,$ que contiene propiamente a $Y\,$ es disconexo.

Se cumple que los componentes conexos de $X$ forman una partición de $X$ . Si $X$ es conexo, se tiene que $X$ es su única componente conexa.

Referencias

↑ Mansfiel: Introducción a la topología

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