Conjunto denso

Sea $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico, $A \subset X$ se dice que es un conjunto denso en $X\;$ si y solamente si $\bar A = X \;$ , es decir, la clausura topológica del conjunto es todo el espacio.

Se cumple que las siguientes proposiciones para $A$ son todas equivalentes:

$A$ es denso en $X$
$A \subset B, B$ cerrado $\Rightarrow B=X$
$\forall V \in \mathcal{T}, A\cap V = \varnothing \Rightarrow V=\varnothing$

Otras proposiciones

D₁ y D₂ son subconjuntos densos en X, no necesariamente lo es su intersección:

D_1=\mathbb{Q}\;\;y\;\;D_2=\mathbb{R}-\mathbb{Q}

Sean D₁ , D₂ subconjuntos densos de X , además D₁ o D₂ es abierto, entonces D₁∩D₂ es denso^[1]

Ejemplos

Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
$\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$ son subconjuntos densos en $\mathbb{R}$ .
Los polinomios son densos en el conjunto $C[a,b]$ de las funciones continuas definidas en $[a,b]$ , dotado de la topología asociada a la distancia $d_\infty (f,g) = \max _{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|$ .

Espacio separable

Si $(X,\mathcal{T})$ contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son $\mathbb{R}^n$ y $C([0,1],\mathbb{R})$ (el espacio de las funciones continuas que van de $[0,1]$ a $\mathbb{R}$ ).

Referencias

↑ Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de la topología general ISBN 84-78-29-006-0

Véase también

Conjunto denso en ninguna parte
Espacio separable

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