Conjunto vacío

El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos.

En matemáticas, el conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.

Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío. En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula.

Definición y notación

El conjunto vacío se define como {x: x ≠ x}

Símbolo del conjunto vacío

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

$\varnothing \, \acute{\text{o}} \; \emptyset \,$

derivados de la letra Ø de las lenguas danesa y noruega, entre otras. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939.^[1] Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre llaves:

\{ \} \,

Propiedades

El conjunto vacío es único ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos:

Dos conjuntos sin elementos son iguales.

Esto justifica hablar de «el conjunto vacío» y no de «un conjunto vacío». Además, el conjunto vacío posee ciertas propiedades:

El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo:

$A \subseteq \varnothing \; \text{ solo si } \; A = \varnothing$

El número de elementos o cardinal del conjunto vacío es cero:

$| \varnothing | = 0$

En particular, el conjunto vacío es un conjunto finito.

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como «ser mortal» o «ser un número primo»). Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir «todo hombre en ∅ es inmortal» es lo mismo que afirmar que «no hay ningún hombre mortal en ∅», y esto último es trivialmente cierto. Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

Para todo conjunto $A$ , el conjunto vacío es subconjunto de $A$ :

$\varnothing \subseteq A$

Para todo conjunto $A$ , la unión de $A$ con el conjunto vacío es $A$ :

$A \cup \varnothing = A$

Para todo conjunto $A$ , la intersección de $A$ con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío:

$A \cap \varnothing = \varnothing$

Para todo conjunto $A$ , el producto cartesiano de $A$ y el conjunto vacío es vacío:

$A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$

Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el que contiene sólo al mismo conjunto vacío, es decir, ${\emptyset}$ . Por lo tanto, el número cardinal de $\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}$ es $|\mathcal{P}(\varnothing)|=1$ .

Otras propiedades

La intersección de un conjunto y su complementario es el conjunto vacío.
La diferencia de cualquier conjunto consigo mismo es el conjunto vacío.
En la diferencia simétrica definida en un conjunto potencia , el conjunto vacío es el elemento neutro, esto es AΔ∅ = A
En una partición de un conjunto inducida por una relación de equivalencia, la intersección de dos clases distintas es el conjunto vacío.
El conjunto vacío es elemento del conjunto potencia de cualquier conjunto, necesariamente.^[2]
La unión de una familia vacía de conjuntos es el conjunto vacío
la intersección de una familia vacía de conjuntos no es vacía, es igual al llamado conjunto universal.
∅ figura como elemento propio de toda topología sobre X. Y es cerrado, a la vez que abierto en cualquier topología.^[3]
La intersección del interior de un conjunto con el interior de su complementario es ∅

Véase también

Álgebra de conjuntos
Conjunto
Teoría de conjuntos
Suma vacía
Producto vacío

Referencias

↑ Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician. Birkhäuser. ISBN 9783764326500. Página 114.
↑ Carlos Vega: Notas de Matemática, Editorial de la Universidad de San Marcos
↑ Lipschitz:Topología Colección Schaumm

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

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