Supremo

Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A(diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado (P, <), el supremo de S, si existe, es el mínimo elemento de P que es mayor o igual a cada elemento de S. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de S. El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup(S).

Definiciones

Sea $T$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ .

Si $T$ está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de $T$ si es menor que cualquier cota superior de $T$ . En tal caso, a esa cota superior se le denota $\sup T$ .
Si $T$ está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de $T$ si es mayor que cualquier cota inferior de $T$ . En tal caso, a esa cota inferior se le denota $\inf T.$ ^[1]

Propiedades

s es supremo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota superior de T y si sólo si para toda ε > 0 existe s_ε en T tal que s-ε < s_ε.

r es ínfimo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota inferior de T y si sólo si para toda ε > 0 existe r_ε en T tal que r+ε > s_ε.
Sea L un subconjunto acotado de números reales. A su vez K un subconjunto no vacío de L, entonces se cumple que inf L ≤ inf K ≤ sup K ≤sup L. ^[2]

Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
$\sup(A \cup B)= \max\{\sup(A),\sup(B)\}$ , si es que dichos supremos existen
$\inf(A \cup B)= \min\{\inf(A),\inf(B)\}$ , si es que dichos ínfimos existen
Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.

$\sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,$
$\inf \{ 1, 2, 3 \} = 1\,$
$\sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1 \} = \sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 1 \} = 1\,$
$\inf \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1 \} = \inf \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 1 \} = 0\,$

$\sup \{ x \in \mathbb{Q^{+}} | x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,$
$\inf \{ x \in \mathbb{Q^{+}} | x^2 < 2 \} = 0\,$
$\sup \{ (-1)^n - \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \} = 1\,$
$\inf \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \} = 0\,$

Véase también

Acotado

Elemento maximal y minimal
Elemento máximo y mínimo

Mayorante y minorante

Elemento mayor y menor

Referencias

↑ Bartle- Sherbert. Introducción al analisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7
↑ Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I

Literatura de consulta

Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
Supremum (en PlanetMath.org)
Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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