Cuerpo de cocientes

El cuerpo de fracciones de un dominio de integridad es el mínimo cuerpo que contiene a dicho dominio (dadas las propiedades de un dominio de integridad puede probarse que dicho cuerpo existe).

Existencia

Una de las propiedades más interesantes de un dominio de integridad es la de que existe "el menor cuerpo que lo contiene". De forma más precisa:

Sea $R$ un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por $R^*$ al conjunto $R \setminus \{0\}$ . Establecemos en el conjunto $R \times R^*$ la relación $\mathcal{R}$ definida por $(a,b) \mathcal{R} (c,d)$ cuando y sólo cuando $a \cdot d = b \cdot c$ . Es sencillo comprobar que $\mathcal{R}$ es una relación de equivalencia. Denotaremos por $Q(R)$ al conjunto cociente $\frac{R \times R^*}{\mathcal{R}}$ , y por $\frac{a}{b}$ a la clase de equivalencia del par ordenado $(a,b)$ .

Operaciones suma y producto

Suma

Definimos la suma $+: Q(R) \times Q(R) \longrightarrow Q(R)$ de la siguiente manera: $+ (\frac{a}{b},\frac{c}{d}) := \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{(a \cdot d) + (b \cdot c)}{b \cdot d}$ , cualesquiera que sean $\frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R)$ . Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro $\frac{0}{1}$ y que todo elemento $\frac{a}{b} \in Q(R)$ tiene por elemento simétrico (elemento opuesto) a $- \frac{a}{b}$ . Así, $(Q(R),+)$ es un grupo abeliano.

Producto

Definimos la multiplicación $\cdot: (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \times (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \longrightarrow Q(R)$ de la siguiente manera: $\cdot (\frac{a}{b},\frac{c}{d}) := \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ , cualesquiera que sean $\frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R) \setminus \{ 0 \}$ . Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro $\frac{1}{1}$ y que todo elemento $\frac{a}{b} \in Q(R)$ tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a $\frac{b}{a}$ . Así, $(Q(R) \setminus \{ 0 \},\cdot)$ es un grupo abeliano.

Distributividad

Se demuestra sin dificultad que $\cdot$ es distributiva respecto de +. Esto hace que $(Q(R),+,\cdot)$ quede dotado de estructura de cuerpo.

Véase también

Anillo de fracciones
Fracción

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