Derivación (matemática)

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p \in M$ , llamaremos derivación en el punto $p_{}^{}$ a

\forall \delta_p : \mathcal{F}(M) \longrightarrow{} \mathbb{R}

aplicación

\mathbb{R}-

lineal, es decir:

\forall f,g \in \mathcal{F}(M), \forall \lambda \in \mathbb{R},

$\delta_p^{}(g+f)= \delta_p(g)+ \delta_p(f)^{},$

$\delta_p^{}(\lambda f)=\lambda \delta_p(f)^{}.$

y tal que

\delta_p(f \cdot g) =

\delta_p(f)g_{|p} + f_{|p}\delta_p(g),

\forall f,g \in \mathcal{F}(M)

, es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación: $\mathcal{F}(M)$ es el conjunto de funciones diferenciables en $M_{}^{}$ , y es un $\mathbb{R}-$ álgebra conmutativa, (es un $\mathbb{R}-$ espacio vectorial).; $f_{|p}^{}$ es equivalente a $f(p)_{}^{}$ , es decir, $f_{}^{}$ evaluado en el punto $p_{}^{}.$

Ejemplos de derivación

La derivada parcial

Sea $M= \mathbb{R}^n$ y $p \in M$ , veamos que la aplicación siguiente es derivación:

\begin{matrix} \frac{{\partial \; \cdot}}{{\partial x_i}}_{|p}: & { \mathcal{F}(M) } & \longrightarrow{} & \mathbb{R} \;. \\ & {f} & \mapsto & {\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}}_{|p} \end{matrix}

Demostración: Veamos primero que es $\mathbb{R}-$ lineal, es decir, que $\forall f,g \in \mathcal{F}(M) \; y \; \forall \lambda \in \mathbb{R}$ vemos que:

$\frac{{\partial (f+g)}}{{\partial x_i}}_{|p}=\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}_{|p}+\frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p},$

$\frac{{\partial (\lambda g )}}{{\partial x_i}}_{|p}=\lambda \frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p}.$

Veamos finalmente que es una derivación:

\frac{{\partial (f \cdot g)}}{{\partial x_i}}_{|p}=\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}\frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p}.

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional

Sea $M= \mathbb{R}^n ,\; p \in M \; y \; v \in M : || v ||=1$ , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

\begin{matrix} \frac{{\partial \cdot}}{{\partial v}}_{|p}: & { \mathcal{F}(M) } & \longrightarrow{} & \mathbb{R} \\ & {f} & \mapsto & {\frac{{\partial f}}{{\partial v}}}_{|p} \end{matrix}.

Derivación en variedades

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p \in M$ , llamaremos espacio tangente a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ al $\mathbb{R}-$ espacio vectorial de las derivaciones de $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ , notado por $\mathcal{T}_p M$ , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}.$

Consecuencias

Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p \in M$ , $\forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M$ y $f \in \mathcal{F}(M)$ tal que $\exists{} U_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f(x)= \lambda$ , $\forall x \in M$ , entonces tenemos que $\delta_p^{} f = 0 .$

Demostración: Por linealidad de $\delta_p^{}$ tenemos

\delta_p ( f ) = \delta_p ( \lambda ) = \delta_p ( \lambda \cdot 1) =

\lambda \delta_p ( 1 ),

aquí aplicando la condición de derivación a

\delta_p^{} (1)

tenemos

\delta_p (1) = \delta_p (1 \cdot 1) =

\delta_p (1) 1 + 1 \delta_p^{} (1) =

\delta_p (1) + \delta_p^{} (1) ,

de simplificar, este último, resulta

\delta_p^{} (1) = 0

aplicadolo al anterior resulta que

\delta_p^{} ( f ) = 0 .

Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase $\mathcal{C}^{ \infty }$ :

la función meseta $\rho$ asociada a $(p,V)_{}^{}$ , donde $\rho ( x ) = 1,$ $\forall x \in k \subset V, \; k$ compacto cuyo interior contiene a $p_{}^{}.$

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p \in M , \; \forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M$ , $f \in \mathcal{F}(M)$ y $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$ , tenemos que:

\delta_p^{} (\rho \cdot f) = \delta_p( f ) .

Demostración: Aplicando la regla de Leibniz tenemos que $\delta_p^{} (\rho \cdot f)=$ $\delta_p^{}(\rho) f(p) + \rho(p) \delta_p(f)$ , por la propiedad anterior tenemos que $\ delta_p^{} (\rho \cdot f)=$ $0 \cdot f(p) + 1 \cdot \delta_p^{}(f)=$ $\delta_p^{}(f).$

Propiedad

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p \in M , \; \forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M$ y $f,g \in \mathcal{F}(M)$ tal que $\exists{} V_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f_{|V}^{}=g_{|V}$ , entonces tenemos que $\delta_p^{} ( f ) = \delta_p ( g )$ .

Demostración: Sea $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$ , tenemos así que $\rho \cdot f = \rho \cdot g_{}^{}$ en todo $M_{}^{}$ también $\rho \cdot f,\rho \cdot g \in \mathcal{F}(M)$ por tanto $\delta_p^{} (\rho \cdot f ) = \delta_p ( \rho \cdot g )$ y por la propiedad anterior tenemos que $\delta_p^{} ( f ) = \delta_p ( g ) .$

Tipos de derivaciones

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

Derivada de una aplicación entre variedades
Derivada exterior
Derivada de Lie
Derivada covariante
Diferencial de una función
Derivada parcial
Derivada funcional

Referencias

Bibliografía

Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.

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