Doble péndulo

Un ejemplo de movimiento caótico de un péndulo doble.

En general, un péndulo doble o doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos, con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masa pendular del superior.

Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un doble péndulo plano, con dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es caótico.

Análisis del movimiento del péndulo doble plano

Movimiento de un doble péndulo.

Cinemática

En la cinemática sólo estamos interesados en encontrar las expresiones de la posición, la velocidad, la aceleración y en términos de las variables que especifican el estado del doble péndulo, sin interesarnos por las fuerzas actuantes. Nos serviremos de las siguientes coordenadas:

x,y = posición horizontal y vertical de la masa de un péndulo
θ = ángulo de un péndulo respecto a la vertical (0 = vertical hacia abajo, antihorario es positivo)
l = longitud de la varilla (constante)

Asociaremos al péndulo superior el subíndice 1, y al de abajo el subíndice 2. Pondremos el origen de coordenadas en el punto de pivote del péndulo superior. El sentido de las ordenadas crecientes se toma hacia arriba.

A partir de consideraciones trigonométricas escribimos las expresiones de las posiciones x₁, y₁, x₂, y₂ en términos de los ángulos θ₁, θ₂:

x_1 = l_1 \sin\theta_1 \,

y_1 = -l_1 \cos\theta_1 \,

x_2 = x_1 + l_2 \sin \theta_2 \,

y_2 = y_1 - l_2 \cos \theta_2 \,

Derivando con respecto al tiempo obtenemos:

\dot x_1 = \dot\theta_1 l_1 \cos \theta_1

\dot y_1 = \dot \theta_1 l_1 \sin \theta_1

\dot x_2 = \dot x_1 + \dot\theta_2 l_2 \cos \theta_2

\dot y_2 = \dot y_1 + \dot\theta_2 l_2 \sin \theta_2

Y derivando una segunda vez:

\ddot x_1 = -\dot \theta_1^2 l_1 \sin \theta_1 + \ddot\theta_1 l_1 \cos \theta_1

\ddot y_1 = \dot\theta_1^2 l_1 \cos \theta_1 + \ddot\theta_1 l_1 \sin \theta_1

\ddot x_2 = \ddot x_1 - \dot\theta_2^2 l_2 \sin \theta_2 + \ddot\theta_2 l_2 \cos \theta_2

\ddot y_2 = \ddot y_1 + \dot\theta_2^2 l_2 \cos \theta_2 + \ddot\theta_2 l_2 \sin \theta_2

Fuerzas

Definimos las variables:

T = tensión en la varilla
M = masa del péndulo
g = aceleración de la gravedad

Usaremos la ley de Newton $F=ma$ , escribiendo por separado las ecuaciones de las componentes verticales y horizontales de las fuerzas.

Sobre la masa $m_1$ actúan la tensión en la parte superior de la varilla $T_1$ , la tensión en la parte inferior de la varilla $T_2$ , y la gravedad -m₁g:

m_1 \ddot x_1 = -T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2

m_1 \ddot y_1 = T_1 \cos \theta_1 - T_2 \cos \theta_2 - m_1 g

Sobre la masa $m_2$ , actúan la tensión $T_2$ y la gravedad –m₂g:

m_2 \ddot x_2 = -T_2 \sin \theta_2

m_2 \ddot y_2 = T_2 \cos \theta_2 - m_2 g

Ecuaciones de movimiento

A partir de las ecuaciones anteriores, tras realizar numerosas operaciones algebraicas con la finalidad de encontrar las expresiones de $\ddot{\theta_1}$ , $\ddot{\theta_2}$ en términos de $\theta_1\,$ , $\dot{\theta_1}\,$ , $\theta_2\,$ , $\dot{\theta_2}\,$ , llegaríamos a las ecuaciones de movimiento para el péndulo doble:

\ddot\theta_1 = \frac {-g (2m_1+m_2)\sin\theta_1 -m_2g \sin(\theta_1-2\theta_2) -2\sin(\theta_1 -\theta_2)m_2(\dot\theta_2^2 l_2 +\dot\theta_1^2 l_1\cos(\theta_1-\theta_2))} {l_1(2m_1+m_2-m_2\cos(2\theta_1 -2\theta_2))}

\ddot\theta_2 = \frac {2 \sin(\theta_1 - \theta_2) (\dot\theta_1^2 l_1 (m_1 + m_2) + g(m_1 + m_2) \cos \theta_1 + \dot\theta_2^2 l_2 m_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)) } { l_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos(2 \theta_1 - 2 \theta_2))}

Energía

La energía cinética viene expresada por:

T=\frac{1}{2}m_1(\dot x_1^2+\dot y_1^2)+\frac{1}{2}m_2(\dot x_2^2+\dot y_2^2)= \frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{\theta}_1^2+l_2^2\dot{\theta}_2^2 + 2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)]

La energía potencial :

V=m_1gy_1+m_2gy_2=-(m_1+m_2)gl_1\cos\theta_1-m_2gl_2\cos\theta_2\,

Por tanto, el movimiento se regirá por la lagrangiana

\mathcal L=T-V=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2 +m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)gl_1\cos\theta_1+m_2gl_2\cos\theta_2

Ecuaciones de movimiento de Lagrange

Usando las ecuaciones de Lagrange en este caso particular son:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\part L}{\part \dot\theta_1 } \right) - \frac{\part L }{\part \theta_1} = 0, \qquad \frac{d}{dt} \left( \frac{\part L}{\part \dot\theta_2 } \right) - \frac{\part L }{\part \theta_2} = 0$

Calculando explícitamente las derivadas de la expresión anterior se llega a:

$\begin{cases} (m_1+m_2)l_1^2\ddot\theta_1+m_2\ddot\theta_2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_2l_1l_2(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\sin(\theta_1-\theta_2)+m_2\dot\theta_1\dot\theta_2l_1l_2\sin(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1=0 \\ m_2l_2^2\ddot\theta_2+m_2\ddot\theta_1l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_1l_1l_2(\dot\theta_1-\dot\theta_2)\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2\dot\theta_1\dot\theta_2l_1l_2\sin(\theta_1-\theta_2)+m_2gl_2\sin\theta_2=0 \end{cases}$

Estas son las ecuaciones de Lagrange para un péndulo doble en el que hemos escogido como coordenadas generalizadas las polares y en el que hay dos ligaduras( $l_1$ y $l_2$ constantes)

Véase también

Péndulo
Péndulo balístico
Péndulo cicloidal
Péndulo cónico
Péndulo de Foucault
Péndulo de Newton
Péndulo de Pohl
Péndulo de torsión
Péndulo esférico
Péndulo físico
Péndulo simple
Péndulo simple equivalente

Bibliografía

Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Double Pendulum». ScienceWorld (en inglés). Wolfram Research.
Animación que muestra movimiento del péndulo doble y reparto de energía entre uno y otro péndulo
Curso Interactivo de Física en Internet. Ángel Franco García.

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