Ecuación algebraica

Las soluciones de una ecuación algebraica de una variable corresponden a los puntos de una curva, que «tocan o cortan» al eje horizontal.

Una ecuación algebraica es un polinomio P(x), con coeficientes reales o complejos, ^[1] igualado a cero.^[2]^[3]. Donde x denota un número desconocido que la satisface, esto es que reemplazado en P(x) da cero como resultado. Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz; el problema de resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces. Cuando el grado del polinomio es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n. ^[4]

Por ejemplo, el polinomio con coeficientos enteros

$P(x) = x^3 - 6x - 8$

determina la ecuación $P(x)=0$ , es decir, $x^3 - 6x - 8 = 0$ . Las soluciones de esta ecuación determinan las raíces del polinomio, las cuales se interpretan geométricamente como sigue.

La gráfica de la función polinómica $y = P(x)$ es una curva, donde las raíces del polinomio son los puntos de la curva que coinciden con el eje horizontal x.^[3]^[5]

Puede darse que el polinomio tenga más de una indeterminada. Tómese como ejemplo el siguiente polinomio

$P(x,y) = x^2 + 3xy - 4y^2 + 1$

que determina una ecuación algebraica de segundo grado y dos variables sobre el cuerpo de los números racionales. En este caso, las soluciones de $P(x,y)=0$ son pares ordenados que determinan un lugar geométrico en el plano, generalmente una curva algebraica.^[6]

Definiciones

En matemáticas, un polinomio algebraico en un cuerpo es un polinomio con coeficientes en ese cuerpo.

Formalmente, si $\mathbb{K}$ es un cuerpo y $X=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ un conjunto de indeterminadas, $\mathbb{K}[X]$ es otro conjunto, que resulta de adjuntar los elementos de X al cuerpo. Este es un anillo de polinomios que contiene a los polinomios algebraicos. Sea $P(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{K}[X]$ uno de estos polinomios.

La igualdad $P(x_1,x_2,\dots,x_n) = 0$ es una ecuación algebraica.

Como $\left(\mathbb{K}[X], +, \cdot\right)$ es un anillo, todo elemento de $\mathbb{K}[X]$ tiene un inverso aditivo. Esto quiere decir que, dados $P_1(x_1,x_2,\dots,x_n), P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{K}[X]$ , siempre se puede construir un tercer polinomio

$\begin{array}{rclcc} R(x_1,x_2,\dots,x_n) &=& P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) &+& [ - P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) ] \\ R(x_1,x_2,\dots,x_n) &=& P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) &-& P_2(x_1,x_2,\dots,x_n) \end{array}$

donde $-P$ denota al elemento inverso de P con respecto a la operación $+$ .^[7] Por definición, igualar el polinomio R a cero equivale a plantear una ecuación algebraica. Este razonamiento da lugar al siguiente teorema.

La igualdad $P_1(x_1,x_2,\dots,x_n) = P_2(x_1,x_2,\dots,x_n)$ es una ecuación algebraica.

En el caso más simple, el cuerpo es $\mathbb{Q}$ , el conjunto de los números racionales. En este caso, los polinomios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

$P(x)=-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3$

cumple $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ . Dicho de otro modo, es un polinomio algebraico en los racionales, con x como indeterminada, y por lo tanto $P(x) = 0$ es una ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Ecuaciones de una variable

Consideraciones genéricas

Según los valores que asuma $n = 1, 2, 3, 4,...,etc.$ surgen las ecuaciones de la forma

a_0x+a_1=0

a_0x^2+a_1x+a_2=0

a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0

a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0

de grado 1, 2, 3, 4, etc. o ecuaciones lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc. Se asume que el coeficiente principal $a_0$ es distinto de cero; aunque ninguna condición se establece para los demás coeficientes. ^[8]

Resolver ecuaciones algebraicas de una sola variable es relativamente sencillo para los grados 1 y 2.

Factorización

Si k es una raíz de la ecuación

P(x)=0

se deduce del teorema del resto que P(x)es divisible por (x-k) y se cumple

P(x)=(x-k)P_1(x)

donde $P_1(x)$ es un polinomio de grado n-1.

Si $k_1$ es otra raíz distinta de k se obtiene

P(x)=(x-k)(x-k_1)P_2(x)

donde $P_2(x)$ es un polinomio de grado n-2. Y así sucesivamente.

Primer grado

Una ecuación de primer grado siempre tiene solución sobre un cuerpo $\scriptstyle \mathbb{K}$ . Es decir, la ecuación:

$ax+b = 0$

siempre admite la solución $\textstyle x = -\frac{b}{a}$ que es un elemento de $\scriptstyle \mathbb{K}$ .

Segundo grado

Una ecuación de segundo grado

$ax^2+bx+c=0$

no siempre admite solución sobre $\scriptstyle \mathbb{K}$ , aunque sí la admite sobre su clausura algebraica (si se trata de un cuerpo de característica nula). Existen a lo sumo dos soluciones, dadas por:

$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Puede ser que alguna de las soluciones anteriores, definibles sobre la clausura algebraica no son números del cuerpo $\scriptstyle \mathbb{K}$ . Por ejemplo la ecuación:

$x^2 - 2 = 0$

No admite solución sobre $\scriptstyle \mathbb{Q}$ pero sí la admite sobre su clausural algebraica y también sobre $\scriptstyle \R$ (ya que contiene a la clausura algebraica de $\scriptstyle \mathbb{Q}$ ).

Ecuaciones de mayor grado

Para ecuaciones de tercer y cuato grado también pueden construirse las soluciones de la ecuación sobre la clausura algebraica de $\scriptstyle \mathbb{K}$ mediante el método de los radicales. Esto fue anticipado por Gerolamo Cardano, Tartaglia y Lodovico Ferrari, entre otros, en el siglo XVI. Sin embargo, para grado 5 o mayor, no tiene por qué existir una solución construible mediante el método de radicales, hecho probado por Évariste Galois a principios del siglo XIX.^[9]

Conversión de coeficientes

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

$-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3=0$

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

$-21x^3 + 2x^2 - 15x + 9 = 0. \,\!$

La forma estándar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

$x^3 + a_1 x^2 + a_2x + a_3 = 0$

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Ecuaciones vinculadas

Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 se dice que esta es consecuencia de la anterior.

Por ejemplo, la ecuación

(x-1^2(1-x^2)= 0

es consecuencia de la ecuación

2(x-1)^3- x(x-1)^2=0

En otros términos, si el conjunto solución de la ecuación F = 0 es parte del conjunto solución de la ecuación G = 0, esta es consecuencia de la ecuación F = 0.

Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 y recíprocamente se dicen que las dos ecuaciones son equivalentes.

Como ejemplo, la ecuación

x^3(x-1)^2 -(x-1)^2=0

y la ecuación

(x-1)^3(x^2+x+1)=0

son equivalentes; sus conjuntos solución son iguales.

Se indican ciertas ecuaciones equivalentes y ecuación consecuencia de otra

La ecuación F+G=G es equivalente a la ecuación F = 0.
F/G = 0 es equivalente a la ecuación F = 0
FG = 0 es equivalente a las dos ecuaciones F= 0 y G = 0.
La ecuación Fⁿ = 0 es consecuencia de la ecuación F=0, donde n es entero positivo mayor que 2.
La ecuación Fⁿ = Gⁿ es equivalente a la ecuación F = G si n es impar; y equivalente a las ecuaciones F=G y F= -G si n es par. ^[10]

Véase también

Referencias

↑ J. V.Uspensky. Teoría de ecuaciones. ISBN 968-18-2335-4
↑ Selzer, Samuel (15 de septiembre de 1970). Álgebra y geometría analítica (2ª edición). Buenos Aires: Nigar. p. 145.
1 2 Roig Sala, Bernardino; Vidal Meló, Anna; Pastor Gimeno, José; Alamar Penadés, Miguel; Sapena Piera, Almanzor; Gregori, Valentín; Estruch Fuster, Vicente Domingo (2005). Matemáticas básicas. Univ. Politéc. Valencia. p. 53. ISBN 9788497058629.
↑ Uspenssky. Op. cit.
↑ Berio, Adriana; Colombo, María Lucila; D'albano, Carina; Sardella, Oscar; Zapico, Irene (2001). Matemática 1. Buenos Aires, Argentina: Puerto de Palos. p. 158. ISBN 9875470260.
↑ De la Puente Muñoz, María Jesús (2007). Curvas algebraicas y planas (1ª edición). Servicio Publicaciones UCA. p. 40. ISBN 9788498281354.
↑ Lelong-Ferrand, Jacqueline; Arnaudiès, Jean Marie (1979). «Polinomio en una o varias variables». Álgebra. Curso de matemáticas I (2ª edición). Barcelona: Reverté. p. 171. ISBN 9788429150650.
↑ Uspensky. Libro mencionado
↑ Sullivan, J. (2006). «Polinomios y funciones racionales». Álgebra y Trigonometria (7ª edición). Pearson Educación. p. 374. ISBN 9789702607366.
↑ Gustafson. álgebra intermedia. ISBN 970-686-553-5

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