Ecuación de primer grado

Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.

En una incógnita

Una ecuación de una variable $mx + n = 0$ definida sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ , es decir, con $\{m,n,x\} \subset \mathbb{K}, m\neq 0$ donde x es la variable, admite la siguiente solución:

$x = - \frac{n}{m}$

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n:

$\exists k: n = m\cdot k \Rightarrow x = -k$

En dos incógnitas

En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:

$y = m x + n$ ;

Donde $m$ representa la pendiente y el valor de $n$ determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

$3x + 2y = 5$

$3x + y -5 = -7x + 4y +3$

$x - y + z = 15$

$3x - 2y + z = 20$

$x + 4y - 3z = 10$

Formas alternativas

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

Ecuación general

Ax + By + C = 0

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.

Ecuación segmentaria o simétrica

\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1

Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.

Forma paramétrica

$x = Ut + x_0$
$y = Vt + y_0$

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. En esta representación puede afirmarse que la recta pasa por el punto

(x_0, y_0)

y forma con el eje de abcisas un ángulo cuya tangente satisface:

\tan \alpha = V/U

Casos especiales:

y = F

Un caso especial es la forma estándar donde

A = 0

B = 1

. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X o (si F = 0) coincidente con ese eje.

x = E

Otro caso especial de la forma general donde

A = 1

B = 0

. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.

0 = 0

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: $3 x + 2 =3 x - 5$ .

Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultáneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones.

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las ecuaciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas, cuando los coeficientes de la ecuación pertenecen a un cuerpo. Así una función lineal de dos variables de la forma

$f(x,y) = a_1 x + a_2 y$

representa un recta en un plano. En varias variables asumiendo que tanto las variables $x_i \in \mathbb{K}$ y los coeficientes $x_i \in \mathbb{K}$ , donde $\mathbb{K}$ es un cuerpo entonces una ecuación lineal como la siguiente:

$f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n$

representa un hiperplano de n-1 dimensiones en el espacio vectorial n-dimensional $\mathbb{K}^n$ .

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 5 \,x & - & 3 \,y & + & 4 \,z & = & 8 \\ -3 \,x & + & 2 \,y & + & 6 \,z & = & 5 \\ 4 \,x & - & 5 \,y & + & 3 \,z & = & 3 \end{array} \right .$

Si se consideran n ecuaciones de primer grado linealmente independientes definidas sobre un cuerpo entonces existe solución única para el sistema si se dan las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, que puede ser calculada mediante la regla de Cramer que es aplicable a cualquier cuerpo. Si las ecuaciones no son linealmente independientes o no se dan las condiciones del teorema la situación es más complicada. Si el sistema se plantea sobre un anillo conmutativo que no sea un cuerpo, la existencia de soluciones es también más complejas.

Linealidad

Una función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición:

$f(x + y) = f(x) + f(y)$

$f(\alpha x) = \alpha f(x)$

donde α es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal

Véase también

Referencias

Weisstein, Eric W. «Ecuación lineal». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Enlaces externos

Ejercicios de ecuaciones de primer grado

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