Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Un tercer tipo de ecuación diferencial, usualmente no considerado en los cursos introductorios del cálculo, son las ecuaciones diferenciales estocásticas que sirven para definir ejemplos de procesos estocásticos.

Historia

El nacimiento de la ciencia de ecuaciones diferenciales se fijaría en el 11 de noviembre de 1675, cuando Leibniz asentó en un papel la ecuación Integral de y diferencial de y igual a la mitad del cuadrado de y.^[1] En símbolos de Leibnitz

$\int{y\text{ d}y}= \frac{y^2}{2}$

Newton formuló la ley de la gravitación, resolviendo después el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente para probar que la Tierra se mueve alrededor del Sol, describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el Sol.
Maxwell concibió una relación entre corriente eléctrica y el campo magnético correspondiente.
Las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las teorías de radio, radar, televisión y electricidad general.
Las ecuaciones diferencias estocásticas fueron introducidas con un tratamiento riguroso por Kiyoshi Itō y Ruslan Stratonovich durante los años 1940 y 1950.

Introducción

Por ejemplo se considera la ley, apoyada en experiencias, de que el radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente, hecho que se describe mediante la ecuación

\frac{dQ}{dt} = kQ

, Q la cantidad de radio es función del tiempo t; de modo que Q = Q(t).^[2]

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

$\,y'= 2xy + 1$

es una ecuación diferencial ordinaria, donde

\,y

representa una función no especificada de la variable independiente

\,x

, es decir,

\,y=f(x)

y'=\frac{dy}{dx}

es la derivada de

\,y

con respecto a

\,x

La expresión $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0$

es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. Ejemplos:

Orden 1:

y' + y(x) = f(x)

Orden 2:

y''+ 4y =0

Orden 3:

xy''' - 2xy'' + 4y' = 0

Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma $\, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x)$ , es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

$\,y'= y$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones $y = f(x) = k \cdot e^x$ , con k un número real cualquiera.
$\,y'' + y = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,$ , con a y b reales.
$\,y'' - y = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $\,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x)$ , con a y b reales.

Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

$\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,$

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },$

donde $t\,$ es el tiempo y $x\,$ es la coordenada del punto sobre la cuerda y $c\,$ una constante que corresponde a la velocidad de propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función $\scriptstyle y(x)$ puede escribirse en la forma:

$f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)=0, \qquad \qquad f_1(z):=f(z,\alpha_{n-1},\dots,\alpha_2,\alpha_1,\alpha_0,\beta_0)$

Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si $\scriptstyle f_1(\cdot)$ es una función afín, es decir, $\scriptstyle f_1(z) = az + b$ .

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función $\scriptstyle y(x)$ puede escribirse en la forma:

$f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)= \hat{f}(y^{(n)},x)+ g(y^{(n-1)},\dots,y',y,x) \qquad \qquad f_2(z):= \hat{f}(z,\beta_0)$

Se dice que dicha ecuación es semilineal si $\scriptstyle f_2(\cdot)$ es una función lineal.

Solución de una ecuación diferencial

Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.

Solución general

Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de $y(x)$ ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

Solución particular: Si fijando cualquier punto $P(X_0,Y_0)$ por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto $P(X_0,Y_0)$ , que recibe el nombre de condición inicial.

Solución particular

Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

Solución singular

Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.

Observaciones sobre las soluciones

Sea la ecuación diferencial ordinaria de orden n $f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)=0,$ ( es fácil verificar que la función y= f(x) es su solución. Basta calcular sus derivadas de f(x), luego reemplazarlas en la ecuación , junto con f(x) y probar que se obtiene una identidad en x.
Las soluciones de E.D.O. se presentanen forma de funciones implícitamente definidas, y a veces imposibles de expresar de manera explícita. Por ejemplo^[3]

$xy = \log y +c$

que es solución de

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{y^2}{1-xy}$

La más simple de todas las ecuación es $\text{d}y/\text{d}x = f(x)$ cuya solución es $y = \int{f(x)\ \text{d}x} +c$

En algunos casos es posible resolver por métodos elmentales del cálculo. Sin embargo, en otros casos, la solución analítica requiere técnicas de variable compleja o más sofisticadas como sucede con las integrales:

$y = \int{\exp(x^2)\ \text{d}x}$ y en la integral $y = \int{\frac{\sin x}{x}\ \text{d}x}$

no puede estructurase mediante un número finito de funciones elementales.^[4]

Resolución de algunas ecuaciones

Ecuación diferencial de primer orden
Ecuación diferencial lineal
Ecuación diferencial exacta
Ecuación de Jacobi
Ecuación de Clairaut y también se llaman ecuaciones de estado diferencial que como las ecuaciones lineales de dos variables, éstas son tangentes.

Véase también

Referencias

↑ Boyce-Di Prima. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. ISBN 968-18-0107-5
↑ Kells. Ecuaciones diferenciales elementales.
↑ Simmons. Ecuaciones diferenciales. Libros Mc Graw Hill
↑ Simmons. Op. cit.

Bibliografía

Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica
José Ignacio Aranda Iriarte (2007). apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.
José Ignacio Aranda Iriarte (2008). apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid.

Enlaces externos

Soluciones exactas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Soluciones exactas de Ecuaciones Diferenciales Lineales en derivadas parciales
Programa para resolver Ecuaciones diferenciales ordinarias escrito en Matlab

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