Elemento simétrico

En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto A \, en el que se ha definido una operación matemática \circ , que anotamos: ( A , \circ ) \,, siendo la operación \circ , interna en A \, :

\begin{array}{rcl} \circ : \; A \times A & \to & A \\ (a,b) & \to & c = a \circ b \end{array}

Con elemento neutro e \, ,

\forall a \in A , \quad \exists e \in A : \quad a \circ e = e \circ a = a

Se dice que un elemento a \in A tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación \circ si:

a \in A , \quad \exists \overrightarrow{a} \in A : \quad \overrightarrow{a} \circ a = e

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación \circ si:

a \in A , \quad \exists \overleftarrow{a} \in A : \quad a \circ \overleftarrow{a} = e

elemento simétrico respecto de la operación \circ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

a \in A , \quad \exists \bar{a} \in A : \quad \bar{a} \circ a = a \circ \bar{a} = e

Un elemento simétrico \bar{a} de A \, es simétrico por la derecha del elemento a \, y simétrico por la izquierda del elemento a \, .

Notación

Notación aditiva

Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.

la suma de Número entero: Z, es interna

\forall a, b \in Z : \quad a + b \in Z

En ese caso, al elemento neutro se le denomina cero y se le denota por "0",

\forall a \in Z , \quad \exists 0 \in Z : \quad a + 0 = 0 + a = a

y al elemento simétrico de a \, se le denomina elemento opuesto de a \, y se le denota por: -a \, .

Así partiendo de los números entero: Z, y la operación suma: +, tenemos que:

a \in Z , \quad \exists (-a) \in Z : \quad (-a) + a = a + (-a) = 0

Notación multiplicativa

Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación. La multiplicación en el conjunto de los números racionales: Q, es interna

\forall a, b \in Q : \quad a \times b \in Q

En ese caso, al elemento neutro se le denomina uno o unidad y se le denota por "1":

\forall a \in Q , \quad \exists 1 \in Q : \quad a \times 1 = 1 \times a = a

y al elemento simétrico de a \, se le denomina elemento inverso de a \, y se le denota por a^{-1} \, o por \frac{1}{a}

Partiendo de los números racionales: Q y de la operación multiplicación, tenemos:

\forall a \in Q,\quad a\neq 0, \quad \exists \frac{1}{a} \in Q : \quad \frac{1}{a} \times a = a \times \frac{1}{a} = 1

Véase también

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