Espacio separable

En topología, un espacio topológico es un espacio separable si incluye un subconjunto denso numerable.

Un espacio de Hilbert es separable si y solamente si admite una base ortonormal numerable.

Espacios de Hilbert separables

Sea (H,<,>) un espacio de Hilbert separable. Si {e_k}_{k ∈ B} es una base ortonormal numerable de H, entonces cada elemento x de H se puede escribir como

x = \sum_{k \in B} \langle e_k , x \rangle e_k

Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.

Ejemplos de espacios de Hilbert son $\mathbb K^n\,$ con $\mathbb K=\mathbb R$ ó $\mathbb K=\mathbb C,$ el espacio de las sucesiones complejas cuadrado-sumables $\ell^2(\mathbb K)$ y el espacio de las funciones cuadrado-integrables en el sentido de Lebesgue $L^2(\mathbb R^n).$ Una gran variedad de espacios de Hilbert que se presentan en la práctica son separables y son en particular los espacios $\mathbb K^n$ y $\ell^2(\mathbb K)$ los prototipos principales de espacios de Hilbert, pues todo espacio de Hilbert separable de dimensión finita $n\,$ es isomorfo a $\mathbb K^n$ mientras que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a $\ell^2(\mathbb K)$ .

Ejemplos

Espacios separables

El conjunto de los números reales R con la topología usual es separable por ser el conjunto de los números racionales Q un subconjunto denso numerable. En general, el espacio euclídeo Rⁿ es separable por ser Qⁿ denso y numerable pues es el producto de conjuntos numerables.
Igualmente el conjunto de los números complejos C es separable siendo en general, el espacio euclídeo Cⁿ también separable.

Todo espacio topológico numerable es separable.
El conjunto de las funciones continuas en el intervalo [0,1] también es separable.

Espacios de Hilbert no-separables

El conjunto de todas las funciones reales $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ , que sólo son diferentes de cero en un conjunto finito o contable de puntos S_f tales que:

$\sum_{x\in S_f} |f(x)|^2 < \infty$

Constituye un espacio de Hilbert no separable, dotado del producto escalar entre dos funciones f y g:

$\langle f, g\rangle = \sum_{S_f \cap S_g} \overline{f(x)}g(x)$

Necesariamente estas funciones de este espacio de Hibert no son continuas, ya que los espacios normados de funciones reales continuas definidas en $\mathbb{R}^n$ son siempre separables.

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