Espacio topológico

Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad, vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado.^[1] La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos se llama topología. Las variedades, al igual que los espacios métricos son especializaciones de espacios topológicos con restricciones y estructuras propias.

Definición

Los espacios topológicos no son más que un conjunto compuesto de ciertos subconjuntos (que serán llamados conjuntos abiertos) y que satisfacen cada una de las tres propiedades descritas a continuación. Una definición formal incluye que un espacio topológico es un conjunto E de elementos, junto con T, una colección de subconjuntos de E que satisfacen las siguientes propiedades:

1. El conjunto vacío y E pertenecen a T.

\quad \varnothing \in T, E \in T

2. La intersección de cualquier subcolección finita de conjuntos de T pertenece también en T.

\quad (O_1 \in T, O_2 \in T) \Rightarrow (O_1 \cap O_2 \in T)

3. La unión de toda colección de conjuntos de T pertenece también en T.

Esta condición también se escribe, formalmente:^[2]

\quad \forall S \subset T, \cup_{O\in S} O \in T

Los conjuntos en T son los conjuntos abiertos, y sus complementos en E son llamados conjuntos cerrados.

La colección T es llamada "topología" en E. Los elementos de E suelen llamarse puntos, aunque pueden ser cualquiera de los objetos matemáticos. Un espacio topológico en el cual los puntos son funciones es llamado un espacio funcional.

Al conjunto E se le llama substrato del espacio topológico.

Ejemplos

Topología trivial o indiscreta: es la formada por $\varnothing$ y $\quad E$ .
Topología discreta: es la formada por el conjunto de las partes de $\quad E$ .
Topología de los complementos finitos: es la formada por $\varnothing$ y los conjuntos de $\quad E$ , cuyos complementarios son finitos.
Topología de los complementos numerables: es la formada por $\varnothing$ y los conjuntos de $\quad E$ , cuyos complementarios son numerables.
R, conjunto de los reales, y T el conjunto de los intervalos abiertos en el sentido usual, y de las reuniones (cualesquiera) de intervalos abiertos.En este caso un conjunto es abierto si para todo punto de él existe un intervalo abierto que contiene al punto y dicho intervalo abierto es parte del mencionado abierto.^[3]
Recta de Sorgenfrey: la recta real junto con la topología del límite inferior.
La topología de Sierpinski es la colección T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} y el par (X,T) se llama espacio de Sierpinski.^[4]
Una topología T sobre X, usando algunas partes de A, que es parte propia de X. El par (X,T ) es un espacio topológico cuyos abiertos son ciertas partes de A y el conjunto X. Para este caso X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = { ∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} es una topología sobre X.^[5]

Espacios metrizables

Toda métrica permite definir de manera natural en un espacio la topología formada por las uniones arbitrarias de bolas de centro $r$ y radio $d$ :

$\quad B(r,d)$

Esta topología se aproxima a la noción intuitiva de conjunto abierto, permitiendo una aproximación de carácter local a la topología.

En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: ¿qué relación tiene que haber entre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?

Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se da cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos en su frontera o borde, que son puntos en contacto al la vez con A y con su complementario R - A.

En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente en contacto con el "exterior".

No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta distancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca el complementario. En la figura, a está en el interior de A, mientras que b está en su frontera, porque cualquier vecindad de b encuentra R - A.

Al hablar de distancia, utilizamos un concepto de los espacios métricos, que son más intuitivos pues corresponden al mundo real (asimilable a R³). En topología, tenemos que cambiar el concepto de bola por el, más general, de vecindad o entorno. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su alrededor. Tenemos entera libertad para definir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:

x pertenece a todas sus vecindades.
Un conjunto que contiene una vecindad de x es una vecindad de x.
La intersección de dos vecindades de x es también una vecindad de x.
En toda vecindad V de x existe otra vecindad U de x tal que V es una vecindad de todos los puntos de U.

Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.

Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados:

E es obviamente una vecindad para todos sus puntos, y ∅ también porque no contiene punto. (Una propiedad universal: para todo x... es forzosamente cierta en el conjunto vacío.)
Una unión de abiertos O_i es un superconjunto de cada O_i, y O_i es una vecindad de todos sus puntos, por lo tanto, la unión es una vecindad de todos sus puntos, gracias a la propiedad (2).
Sea x un punto de la intersección de los abiertos O₁ y O₂. O₁ y O₂ son abiertos que contienen x y por lo tanto vecindades de él. Una intersección de vecindades de x es una vecindad de x (propiedad 3), lo que implica que O₁ $\cap$ O₂ es una vecindad de todos sus puntos, y por lo tanto un abierto.

Propiedades de un espacio topológico

Véase también

Referencias

↑ Kuratowski: "Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología2
↑ Para este caso y los axiomas anteriores, consultar en "Topología" de Munkres ISBN 978-84-205-3180-9
↑ Mansfield: Introducción a la topología, ISBN 84-205-0450-5
↑ Kelley: Topología general Eudeba, Buenos Aires
↑ Los elementos de T satisfacen los axiomas de definición de una topología sobre un con junto no vacío

Bibliografía

Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

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