Arcotangente

Función arcotangente
Gráfica de Función arcotangente
Definición	$\textstyle f \mbox{ tal que } f(\tan(x))=x$ $\forall x\in (-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$
Tipo	Trigonométrica inversa
Dominio	$(-\infty,+\infty)$
Codominio	$(-\infty,+\infty)$
Imagen	$\textstyle (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
Cálculo infinitesimal
Derivada	$\frac{1}{x^2+1}$
Función inversa	$\textstyle \tan(x) \quad x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
Límites	$\lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}\,$ $\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2}\,$
Funciones relacionadas	arcocoseno arcoseno
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En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:

y = \arctan \alpha \,

su significado geométrico es el arco $y$ (en radianes) cuya tangente es $\alpha$ .

La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene recíproca. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ .

Notación

La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua tan^-1. En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar la formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.

Propiedades

Es una función continua y derivable, de clase $C^\infty$ (es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).

Es una función impar, o sea que $\arctan(-x)=-\arctan(x)$ .

Algunos valores especiales

\arctan(0)=0

\arctan\left(\frac 1 \sqrt 3\right)=\frac \pi 6

\arctan(1)=\frac \pi 4

\arctan(\sqrt 3)=\frac \pi 3

Límites en infinito

\lim_{x\to\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}

\lim_{x\to-\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}

Derivadas y crecimiento

$(\arctan(x))' = \frac{1}{x^2+1}$

En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.

$(\arctan(x))'' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$ , que es positivo en $\R^-$ y negativo en $\R^+$ .

Integral indefinida

Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de $\arctan(x)$ :

$\int \arctan(x)\ dx=\int \arctan(x)\cdot 1\ dx= \arctan(x)\cdot x \ -\ \int x\cdot\frac 1 {x^2+1}dx= \arctan(x)\cdot x\ - \ \frac 1 2 \log(x^2+1) \ +\ C$

Serie de Maclaurin

\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1.

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Arcotangente». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Arcocotangente». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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