Función multiplicativa

En teoría de números, una función aritmética f(n) (es decir, definida para n entero) se llama multiplicativa si f(1) = 1 y además cumple que f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n son números enteros coprimos (no tienen factores comunes). De esta manera, una función multiplicativa queda determinada si se conoce el valor que toma para las potencias de números primos.

Entre las funciones multiplicativas están las funciones completamente multiplicativas que son las que también cumplen que f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n no son coprimos entre sí.

Utilizando las funciones multiplicativas como coeficientes de desarrollo de series de Dirichlet se obtienen funciones complejas, cuyo estudio aporta información relevante acerca de la distribución de los números. Un ejemplo de ello son las relaciones de las funciones aritméticas más clásicas con la función zeta de Riemann.

Ejemplos

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas que son relevantes en la teoría de números son:

• φ(n): la función φ de Euler, que cuenta los enteros positivos coprimos con n.
• μ(n): la función de Möbius, relacionada con el número de factores primos de los números no divisibles por un cuadrado perfecto.
• d(n): el número de divisores positivos de n.
• σ(n): la suma de todos los divisores positivos de n.
• La función que calcula suma de todas las potencias de orden k de los divisores positivos de n (la función σ es el caso con k=1 y la función d el caso con k=0).
• Si representamos por r₂(n) a la función que cuenta la cantidad de distintas parejas de enteros (a,b) tales que n=a²+b², entonces la función r₂(n)/4 es una función multiplicativa.
• Es multiplicativa la función que se obtiene como producto de Dirichlet de dos funciones multiplicativas.

Véase también

• Función aditiva

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Multiplicative function». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Multiplicative function en PlanetMath