Grupo abeliano

Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: " $\circ$ ". Se dice que la estructura $( A, \circ )$ es un Grupo abeliano con respecto a la operación $\circ$ si:

$( A, \circ )$ tiene estructura algebraica Grupo.
$( A, \circ )$ tiene la Propiedad conmutativa.

Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos en el estudio de las ecuaciones algebraicas solubles por radicales.^[1] Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia).

Notación

Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación.

Notación	Operación	Elemento neutro	Potencias	Elementos inversos	Suma directa / Producto directo
Adición	a + b	0	na	−a	G ⊕ H
Multiplicación	a * b o ab	e o 1	aⁿ	a⁻¹ o 1/a	G × H

La notación multiplicativa no es otra que la notación usual para los grupos, mientras que la aditiva es la notación usual para módulos. Cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, usualmente se usa la notación aditiva.

Ejemplos

Todo grupo cíclico G es abeliano, pues si x, y ∈ G = <a>, x = a^m y y = aⁿ para algunos m, n enteros, con lo cual, xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. En particular, el grupo Z de enteros bajo la suma es abeliano, al igual que el grupo de enteros módulo n, Z_n.

Los números reales forman un grupo abeliano con la adición, al igual que los reales no nulos con la multiplicación.

Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su adición. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.

Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal, y por lo tanto, para todo subgrupo hay un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes, y sumas directas de grupos abelianos son también abelianos.

Propiedades

Si n es un número natural y x un elemento de un grupo abeliano G (con notación aditiva), se puede definir nx = x + x +... + x (n sumandos), y (−n)x = −(nx), con lo que G se vuelve un módulo sobre el anillo Z de los enteros. De hecho, los módulos sobre Z no son otros que los grupos abelianos.
Si f, g: G → H son dos homomorfismos entre grupos abelianos, su suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismos entre G y H se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo.

Grupos abelianos finitos

El grupo $\mathbb Z_n$ de los enteros módulo n es un grupo con la operación de la suma módulo n. Este grupo es abeliano y finito.
El siguiente resultado nos indica que los anteriores forman la estructura básica de todos los conjuntos abelianos finitos.

Teorema:^[2] Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a $\mathbb Z_{p_1^{k_1}}\oplus\ldots \oplus Z_{p_r^{k_r}}$ , donde $p_1,\ldots,p_r$ son números primos y $k_1,\ldots,k_r\in\mathbb N$ .
Los enteros $p_1^{k_1}, \ldots,p_r^{k_r}$ son únicos a menos del orden.

Veamos un par de ejemplos.

Salvo isomorfismos existen cinco grupos abelianos con 16 elementos.
Para mostrar ello, observe primero que 16=2⁴, por lo que las formas de descomponer 16 como producto de naturales mayores a 1 son (a menos de orden): $16=16, \ 16=2\times8,\ 16=2\times 2\times 4,\ 16=2\times2 \times 2 \times 2 \mbox{ y } 16=4\times4$ .
Por ende un grupo abeliano con 16 elementos es isomorfo a uno y sólo uno de los siguientes: $\mathbb Z_{16}, \ \mathbb Z_8\oplus \mathbb Z_{2}, \ \mathbb Z_4\oplus \mathbb Z_{2}\oplus\mathbb Z_2, \ \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_{2}\oplus \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_{2}, \ \mathbb Z_4\oplus \mathbb Z_{4}$ .

Todo grupo abeliano de orden 30 es isomorfo a $\mathbb Z_{5}\oplus \mathbb Z_{3}\oplus \mathbb Z_{2}$ .
Esto se debe a que no hay otra forma de escribir 30 como producto de potencias de primos que $30=2\times 3\times 5$ .

Una forma equivalente de dar el teorema anterior es la siguiente:

Teorema:^[2] Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a $\mathbb Z_{d_1}\oplus\ldots \oplus Z_{d_t}$ , donde $d_1,\ldots,d_t$ son enteros mayores a 1 que verifican $d_i|d_{i+1} \ \forall i=1,\ldots, t-1$ . Los enteros $d_1, \ldots,d_t$ son únicos.

Este teorema se deduce del anterior utilizando que $\mathbb Z_m\oplus \mathbb Z_{n}$ es isomorfo a $\mathbb Z_{nm}$ cuando n y m son coprimos.

Referencias

↑ Encyclopedia of Mathematics. «Abelian group» (en inglés). Consultado el 12 de julio de 2014.
1 2 Rotman, Joseph (2003). «Groups II». Advanced modern algebra (en inglés) (1 edición). pp. 249–269. ISBN 0130878685. |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)

Véase también

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