Homotopía

Los dos caminos en negrita que se muestran arriba son homotópicos en relación a sus extremos. Las líneas finas marcan isocontornos de una posible homotopía.

En topología, y más precisamente en topología algebraica, dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro se dicen homotópicas (del griego homos = mismo y topos = lugar) si una de ellas puede "deformarse continuamente" en la otra.

Definición formal

Dos aplicaciones continuas $f,g:X\to Y$ se dicen homotópicas si existe otra aplicación (continua también) $H:X\times [0,1]\to Y$ tal que:

H(x,0)=f(x) \,

H(x,1)=g(x) \,

Un ejemplo importante son las diferentes clases (homotópicas) de mapeos del círculo a un espacio $X$

S^1\to X \,

la estructura resultante es el importantísimo grupo fundamental.

Si dos aplicaciones f y g son homotópicas, se escribe f ≃ g; lo que significa esta relación es efectivamente una relación de equivalencia sobre el conjunto de aplicaciones continuas de de X en Y, Las clases de equivalencia se denominan clases de homotopía de aplicaciones.^[1]

Tipo homotópico

Se dice que dos espacios X, Y tienen el mismo tipo homotópico, si existe un par de aplicaciones $X\stackrel{f}\to Y$ y $Y\stackrel{g}\to X$ tales que $g\circ f$ y $f\circ g$ son homotópicos a $Id_X$ y $Id_Y$ respectivamente.

Suele ser utilizado el símbolo: $f\simeq g$ , para indicar que los objetos f y g son homotópicos.

Como ejemplos, una 1-esfera y un toro sólido tienen el mismo tipo homotópico.

Referencias

↑ Munkres: "Topología"

Literatura del caso

Weisstein, Eric W. «Homotopía». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Homotopía», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104

Enlaces externos

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