Isometría

Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos. Es decir, las isometrías son los morfismos de la categoría de espacios métricos.

Definición

Formalmente si E₁ y E₂ son dos espacios métricos una isometría φ viene definida por lo siguiente:

$\varphi:E_1 \to E_2 \qquad \forall (x,y)\in E_1\times E_1: \ d_1(x,y) = d_2(\varphi(x),\varphi(y))$

Siendo d₁(·,·) y d₂(·,·) las respectivas funciones de distancia en los dos espacios métricos E₁ y E₂.

Ejemplos

Una rotación en el espacio euclídeo es una isometría del espacio euclídeo tridimensional.
Una traslación en el espacio euclídeo es una isometría, también lo es la composición de un número arbitrario de traslaciones y rotaciones. El conjunto de todas las rotaciones y traslaciones de un espacio euclídeo n-dimensional forman un grupo de isometría de dimensión $n+(n(n-1)/2)$ .
El operador de evolución temporal $U_t: S \to \R^3$ , que describe el movimiento de un sólido rígido S es un grupo uniparamétrico de isometrías del espacio euclídeo tridimensional.
Cada operador unitario $\hat{\mathbf{U}}_t = \exp(i\hat{\mathbf{H}}t/\hbar)$ que da la evolución de un sistema cuántico cuyo hamiltoniano es $\hat{\mathbf{H}}$ es una isometría sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita.

Grupo de isometría

El conjunto de todas las aplicaciones que son isometrías de un conjunto contenido en un espacio métrico forma un grupo conocido como grupo de isometría del conjunto. En un espacio euclídeo de dimensión n el grupo de isometría $G_{iso}\,$ de cualquier conjunto es un subgrupo del grupo producto formado a partir del grupo ortogonal y el grupo de traslaciones:

$G_{iso} \subset O(n)\times\R^n$

Véase también

Isometría afín

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