Monoide

En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Definición formal

Un monoide $(A,\circ)$ es una estructura algebraica en la que $A \,$ es un conjunto y $\circ$ es una operación binaria interna en $A \,$ que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):

Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo $\circ$ , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:
$\forall x, y \in A : \quad x \circ y \in A$

Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:
$\forall x, y, z \in A: \quad x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z \;$

Elemento neutro: existe un (único) elemento, e, en A que es neutro de la operación $\circ$ , es decir:
$\exists \ ! e \in A: \quad \forall x \in A : \quad e \circ x = x \circ e = x$

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Conmutatividad

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna $\circ$ si:

$\forall a, b \in A: \quad a \circ b = b \circ a \;$

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Sintéticamente

Un monoide es un conjunto no vacío K, con una ley de composición asociativa y que posee un elemento neutro.^[1] El conjunto numérico más antiguo ℕ = {0, 1. 2,...} con la adición es un monoide.

Ejemplos

Concatenación de cadenas alfanuméricas

Definimos el conjunto A de las cadenas alfanuméricas, cada una de las cuales es una secuencia de letras y números de cualquier longitud, que representaremos:

\langle abcd \rangle

\langle aju73fr5 \rangle

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

\langle \rangle

Definimos la operación $\shortparallel$ de concatenación de cadenas de caracteres:

A \shortparallel A \to A

que podemos representar, de las siguientes formas:

$\langle asd \rangle \shortparallel \langle rfv \rangle \; \to \; \langle asdrfv \rangle$

$\langle 1234 \rangle \shortparallel \langle ju \rangle \; \to \; \langle 1234ju \rangle$

podemos ver que $( A , \shortparallel )$ tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas su concatenación es una cadena alfanumérica:

\forall a, b \in A : \quad a \shortparallel b \in A

2.- Es asociativa:

\forall a, b, c \in A: \quad a \shortparallel (b \shortparallel c) = (a \shortparallel b) \shortparallel c \;

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres, existe la cadena vacía $\langle \rangle$ de A, de modo:

\forall a \in A : \quad \exists \, \langle \rangle : \quad \langle \rangle \shortparallel a = a \shortparallel \langle \rangle = a

La concatenación de cadenas de caracteres no es conmutativa. No cumple la propiedad conmutativa para todos los elementos:

\forall a, b \in A: \quad a \shortparallel b \ne b \shortparallel a

Para todo a, b de A la concatenación de a com b es distinto de la concatenación de b con a.

Multiplicación de números naturales

Partiendo del conjunto de los números naturales:

N = \{ 1, 2, 3, 4, \dots \} \,

y la operación multiplicación, podemos ver que: $(N , \times )$ es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

\forall a, b \in N : \quad a \times b \in N

2.- Es asociativa:

\forall a, b, c \in N: \quad a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \;

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N, es neutro para todos los números naturales ya que cumple:

\exists \, 1 \in N: \quad \forall a \in N : \quad 1 \times a = a \times 1 = a

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

\forall a, b \in A: \quad a \times b = b \times a \;

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: $(N , \times )$ , tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categorías

Una categoría monoidal^{[cita requerida]}, es una categoría con una operación binaria que convierte a la categoría en un monoide. Dos ejemplos:

La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
La categoría $\mathbf{Vect}_{\mathbb{K}}$ de los espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb{K}$ junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a $\mathbb{K}$ como el elemento neutro.

Referencias

↑ Álgebra (1971) Lang, Serge, versión española de Milagros Ancoche ISBN 84-03-20216-4; pg.3

Véase también

Monoide

Ley de composición

Bibliografía

Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando. Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3.

Enlaces externos

Enciclopedia Libre Universal en Español: Monoide
CIENCIA.NET: Monoide

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