Número decimal periódico

Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:


   \cfrac{1}{3} =
   0,\boldsymbol{3}\,333\dots
   \; ; \quad
  \cfrac{1}{7} =
  0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:


   \cfrac{2}{3} =
   0, \overset{\frown}{6}
   \; ; \quad
   \cfrac{12}{11} =
   1, \overset{\frown}{09}

Tipos de números periódicos

Fracción correspondiente a un número periódico

Una fracción puede dar un número decimal periódico:


   \begin{array}{l}
      \cfrac{1}{9}  = 0,111111111111...\\
      \cfrac{1}{7}  = 0,142857142857...\\
      \cfrac{1}{3}  = 0,333333333333...\\
      \cfrac{2}{27}  = 0,074074074074...\\
      \cfrac{7}{12} = 0,58333333333...
   \end{array}

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:


   \begin{array}{rcll}

       x & = & 0,333333\ldots\\
     10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}      \\
      9x & = & 3              & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\
                                                                                  \\
       x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3}  & \text{(simplificando)}
   \end{array}

Otro ejemplo:


   \begin{array}{rcl}
         x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\
      100x & = & 285,63636363\ldots \\
       99x & = & 282,78
   \end{array}

   x =
   \frac{282,78}{99} =
   \frac{28278}{9900} =
   \frac{1571}{550}

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

Ejemplo:

   5,34\ 34\dots =
   \frac{534-5}{99} =
   \frac{529}{99}
Ejemplo:

   12,345\ 67\ 67\ 67\dots =
   \frac{1234567-12345}{99000} =
   \frac{1222222}{99000} =
   \frac{611111}{49500}

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:


Por ejemplo:


   \cfrac{7}{20}

como:


   20 = 2 \cdot 2 \cdot 5

será exacta; en efecto


   \cfrac{7}{20} =
   \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} =
   \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} =
   \cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} =
   \cfrac{35}{100} =
   0,35

Otro ejemplo:


   \cfrac{7}{25}

como:


    25 = 5 \cdot 5

será exacta; en efecto:


   \cfrac{7}{25} =
   \cfrac{7}{5 \cdot 5} =
   \cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} =
   \cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} =
   \cfrac{28}{100} =
   0,28

Por ejemplo:


   \cfrac{5}{21}

como:


   21 = 3 \cdot 7

será periódica pura; en efecto:


   \cfrac{5}{21} =
   0,238095\ 238095\ 238095\dots

Por ejemplo:


   \cfrac{5}{42}

como:


   42 = 2 \cdot 3 \cdot 7

será periódica mixta, en efecto:


   \cfrac{5}{42} =
   0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots

mas no es seguro un resultado próximo

Véase también

Clasificación de números
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
1: uno
Naturales primos
Naturales compuestos
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios

Referencias

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