Par ordenado

Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesiano mediante pares ordenados.

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como $($ a, b).

Un par ordenado $(a, b)$ no es el conjunto que contiene a $a$ y $b$ , denotado por ${a, b}$ . Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Definición

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:

Dos pares ordenados $(a, b)$ y $(c, d)$ son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente:

$(a,b)=(c,d)\ \text{ si y solo si }\ a=c\ \text{ y }\ b=d\!$

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos $X$ e $Y$ , la colección de todos los pares ordenados $(x, y)$ , formados con un primer elemento en $X$ y un segundo elemento en $Y$ , se denomina el producto cartesiano de $X$ e $Y$ , y se denota $X \times Y$ . El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

Generalizaciones

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

$(a_1, a_2, a_3) = (b_1, b_2, b_3) \text{ si y solo si } a_1 = b_1 , \ a_2 = b_2 \text{ y } a_3 = b_3$

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos $n$ , dando lugar así a una n-tupla.

Construcción

La condición de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad matemática relevante.^[1] Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se define par ordenado como un conjunto particular de tal manera que su relación de igualdad sea la correcta.

La definición conjuntista habitual, debida a Kuratowski, es:^[2]

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\!$

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.^[3]

Construcciones alternativas

La definición conjuntista de Kuratowski no es la única existente en la literatura matemática:

${ {a, 1}, {b, 2} }$ (Hausdorff, 1914).^[2]
${ {{a}, \emptyset}, {{b}} }$ (Wiener, 1914).^[4]

Referencias

↑ Véase por ejemplo Moschovakis, 2006, p. 35, donde se afirma que
Adoptamos ahora una operación $(x, y)$ concreta específica [...] quizás el par de Kuratowski [...] quizá alguna otra: a partir de aquí podemos olvidarnos de la definición concreta elegida, lo único que importa es que la operación "par" satisface [las propiedades básicas de los pares ordenados].
1 2 Introducción de Wiener, 1967
↑ Moschovakis, 2006, p. 35.
↑ Wiener, 1967

Moschovakis, Yiannis N. (2006). Notes on set theory (en inglés). Birkhäuser. ISBN 9780387287225.
Wiener, Norbert (1967) [1914]. «A simplification of the logic of relations». En Jean van Heijenoort. From Frege to Gödel (en inglés). Cambridge University Press. LCCN 67010905.

Bibliografía adicional

Kuratowski, Kazimierz (1921). «Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles» (PDF). Fundamenta Mathematicae (en francés) 2 (1): 161–171. El artículo con la definición original del par de Kuratowski.

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