Partición de un conjunto

Partición del círculo en 6 partes {A₁, ... , A₆}.

En matemáticas, una partición de un conjunto es una división del mismo en subconjuntos disjuntos no vacíos.

Definición

Una partición de un conjunto es una división del mismo en «trozos» separados y no vacíos. Esta división se representa mediante una colección o familia de subconjuntos de dicho conjunto que lo recubren.

Una partición del conjunto A es una familia P de subconjuntos no vacíos de A, disjuntos dos a dos, cuya unión es A. Es decir, P = {A_i: i ∈ I }, donde se cumple:

Para cada i ∈ I, A_i ⊆ A y A_i ≠ ∅

Para cada par i ≠ j, A_i ∩ A_j = ∅

∪_{i ∈ I} A_i = A

El concepto de partición es equivalente al de relación de equivalencia: toda relación de equivalencia sobre un conjunto A define una partición de A, y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una clase de equivalencia de la relación.

Ejemplos

Dado un conjunto no vacío X arbitrario, la familia P = {X} es una partición de X.
Un conjunto con un sólo elemento {x} tiene como única partición a P = { {x} }.
El conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones:
- { {1}, {2}, {3} }
- { {1, 2}, {3} }
- { {1, 3}, {2} }
- { {1}, {2, 3} }
- { {1, 2, 3} }

Número de particiones

El número de particiones posibles para un conjunto finito solo depende de su cardinal n, y se llama el número de Bell B_n. Los primeros números de Bell son B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203, ...

Referencias

Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
Weisstein, Eric W. «Bell Number». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Véase también

Recubrimiento (matemática)
Partición de un intervalo

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