Producto semidirecto

En la teoría de grupos, un producto semidirecto describe una forma particular en la cual un grupo puede ser compuesto de dos subgrupos.

Definiciones equivalentes

Sea G un grupo, N un subgrupo normal de G (i. e., $N\triangleleft G$ ) y H un subgrupo de G. Son equivalentes:

G = NH yN ∩ H = {e} (siendo e el elemento neutro deG)
$\forall g \in G$ existen únicamente $h\in H, n\in N$ tales que g=hn

Si una, y por lo tanto todas estas condiciones se cumplen, entonces se dice que G es un producto semidirecto de N y H, escrito como $G = N \rtimes H,$ o que G se parte sobre N.

Ejemplos

El grupo lineal general $GL_n(\mathbb{F})$ , donde $\mathbb{F}$ es un cuerpo de característica cero, es el producto semidirecto del grupo multiplicativo del cuerpo y el grupo lineal especial:

$GL_n(\mathbb{F}) = SL_n(\mathbb{F}) \rtimes \mathbb{F}^\times$

Véase también

Producto directo

Referencias

R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. ISBN 1-4196-2722-8
Weisstein, Eric W. «Semidirect Product». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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