Asociatividad (álgebra)

Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna: $\circ$ , es decir:

\begin{array}{rccl} \circ : & A \times A & \to & A \\ & (a,b) & \to & c = a \circ b \end{array}

Se dice que el conjunto A, con la operación $\circ$ , $( A , \circ )$ tiene la propiedad asociativa si:

\forall a, b, c \in \mathbb A \; : \quad a \circ (b \circ c) =(a \circ b) \circ c

Ejemplos

podemos decir que la Asociatividad es el orden en que se comienza a leer una operación aritmética sea por la derecha o por la izquierda: ejemplo de Asociatividad por la derecha 2+2(3**2) primero se saca la exponeciación de 3**2 y luego se prosigue con la de 2**9 siendo 9 el resultado de la anterior 2 + 512 = 514.

Partiendo del conjunto de los números naturales:

\mathbb N = \{1, 2, 3, 4, \dots \} \,

y la operación suma:

\begin{array}{rccl} + : & \mathbb{N} \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ & (a,b) & \to & c = a + b \end{array}

podemos ver que: $(\mathbb N , + ) \,$ tiene la propiedad asociativa, dado que:

\forall a, b, c \in \mathbb N \; : \quad a + (b + c) =(a + b) + c

Por otro lado, la operación resta:

\begin{array}{rccl} - : & \mathbb{N} \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ & (a,b) & \to & c = a - b \end{array}

podemos ver que: $(\mathbb N , - ) \,$ no tiene la propiedad asociativa, dado que:

\exists a, b, c \in \mathbb N \; : \quad a - (b - c) \neq(a - b) - c

Por ejemplo:

5 - (3 - 2) \neq(5 - 3) - 2

Véase también

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