Distributividad

En matemáticas y en particular en álgebra abstracta, la distributiva es la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos sumandos, es igual a la suma de los productos de cada sumando por ese número. En términos algebraicos:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Ejemplo: $3 \cdot (5 + 4) = 3 \cdot (9) = 27$

$(3 \cdot 5) + (3 \cdot 4) = 15 + 12 = 27$

En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distributividad.

Definición

Sea A un conjunto dado en el que se han definido dos operaciones binarias ( $\circ$ ; $\star$ ). Entonces:

La operación $\circ$ es distributiva por la izquierda respecto de la operación $\star$ si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c $\in$ A, entonces

a \circ (b * c) = (a \circ b) * (a \circ c)

La operación $\circ$ es distributiva por la derecha respecto de la operación $\star$ si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c $\in$ A, entonces

(b * c) \circ a = (b \circ a) * (c \circ a)

La operación $\circ$ es distributiva respecto de la operación $\star$ si es distributiva por la derecha y distributiva por la izquierda, esto es, si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c $\in$ A, entonces

a \circ (b * c) = (a \circ b) * (a \circ c)

(b * c) \circ a = (b \circ a) * (c \circ a)

Hay que notar que si la operación $\circ$ cumple la propiedad conmutativa, entonces las tres condiciones son equivalentes, y basta que se cumpla una cualquiera de ellas para que las otras dos también se cumplan simultáneamente.

Véase también

Referencias

Enlaces externos

Operaciones binarias Artículo sobre operaciones binarias y sus propiedades.
Garvín, Antonio. «Distributividad». Universidad de Málaga. Consultado el 22 de abril de 2011.

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