Raíz cuadrada

Se llama raíz cuadrada de un número a cualquier otro número b, generalmente diferente de a, en el caso de existir en un conjunto pertinente, tal que al multiplicarlo por sí mismo resulta el valor del primero, esto es a=b² ^[1]. En el caso de los reales negativos no es posible encontrar otro número real que multiplicado por sí mismo dé un número negativo. Esta dificultad se ha salvado con la adopción de la unidad imaginaria i, que cumple i² = -1, de modo que se puede decir que 2i es raíz cuadrada de -4, pues (2i)² = -4.

En los números reales positivos es posible definir la función raíz cuadrada de un número positivo como el único número positivo tal que al multiplicarlo por sí mismo resulta el valor del primero, es decir, que es un segundo número que al elevarlo al cuadrado es igual al primero. Abreviado como la función raíz tiene el símbolo: $\sqrt{\ }$ . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente ¹/₂.

Raíz cuadrada es la expresión radical de índice 2. Todo número real positivo tiene dos raíces opuestas, la primera llamada raíz cuadrada aritmética. Un número real negativo tiene dos raíces cuadradas imaginarias.^[2] Un número complejo tiene dos raíces complejas^[3]

El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de un número real negativo o la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas. En el anillo no conmutativo de las funciones reales de variable real con la adición y la composición de funciones si fºf = g, se puede plantear que f es la "raíz cuadrada" de g.^[4]

Historia

Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.^[5]

En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados entre el 500 y el 300 a. C. Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.^[6] Ariabhatta (476-550) en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendo cálculos mediante la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, se trata de construir una sucesión $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$ dada por:

$a_{n+1}= \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{a}{a_n}\right).$ ^[7]

Puede demostrarse que esta sucesión matemática converge $a_n \to \sqrt{a}$ (como valor inical $a_0$ puede tomarse con buena aproximación el entero más cercano al valor de la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.

Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.

Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, y son en la actualidad una de las herramientas matemáticas más elementales.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:

"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Ariabhata para determinar la raíz cuadrada".^[8]

Según Julio Rey Pastor y José Babini, Catald calculó en 1613 la raíz cuadrada aproximando por fracciones continuas, como aparece en la obra común Historia de la matemática.

El símbolo de la raíz cuadrada $(\sqrt{\ })$ fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación,^[9]^[10] que aparece en su libro Coss, el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.

Raíz cuadrada de números negativos: los números complejos

Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i, y dio cabida así al desarrollo de los números complejos.

Extensiones de sistemas numéricos

Algebraicamente, la raíz cuadrada es un resultado que resuelve la ecuación

x^2 = a

donde a es un elemento, generalmente, de un sistema numérico. Se planteó resolver para a número natural, para racionales positivos; los casos que tiene solución en el propio conjunto, es cuando a es un natural cuadrado perfecto o lo son también los elementos de la fracción. Para cualquier número natural, su raíz cuadrada se consiguió al estructurar el sistema de los números reales. Por otro lado, el gran dilema de los griegos para

\sqrt{2}, x^2= 2

se resolvió con la adopción de números irracionales; a plenitud en el siglo XIX, con los aportes de Richard Dedekind, Peano, Georg Cantor y otros. En el caso de los enteros negativos, la ecuación

x^2 = -1

se resolvió con la adjunción de los números imaginarios. Sin embargo, al tratar de resolver la ecuación

$ax^2 + bx + c = 0, \quad \mbox{para}\;a\neq 0$

en el caso de que el discriminante $D < 0$ siendo $D= b^2-4ac$ , para hallar la solución, necesariamente, se acude a los números complejos, que es una extensión de los números reales.^[11]

Función raíz cuadrada

La gráfica de la función

f(x) = + \sqrt x

es una semiparábola con directriz vertical.

La raíz cuadrada permite definir una función real sobre los números no negativos, para cada número real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa equivalente de las siguientes maneras:

$y = \sqrt x,\qquad y = x^{\frac{1}{2}}$

Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:

$\sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{64} = 8, \quad \sqrt{144} = 12$

ya que:

$16 = 4\times 4 = 4^2, \quad 64 = 8\times 8 = 8^2, \quad 144 = 12\times 12 = 12^2$

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros.

Propiedades generales

Gráfica de la ecuación:

y^2 = x

La función raíz cuadrada $f(x) = \sqrt{x}$ es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto $\left[0,\infty\right)$ (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; $\sqrt x$ es racional si y sólo si $x\,$ es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es $1^2 = 1\,$ , entonces se trata de un número natural. Sin embargo, $\sqrt 2$ es irracional.
La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
Contrariamente a la creencia popular, $\sqrt{x^2}$ no necesariamente es igual a $x$ . La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos $x$ , pero cuando $x < 0$ , $\sqrt{x^2}$ es un número positivo, y entonces $\sqrt{x^2} = -x$ . Por lo tanto, $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todos los números reales $x$ (véase valor absoluto).
Suponga que $x$ y $a$ son números reales, y que $x^2 = a$ , y se desea encontrar $x$ . Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que $x = \sqrt a$ . Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de $x^2$ no es $x$ , sino el valor absoluto $\left| x \right|$ , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que $\left| x \right| = \sqrt a$ , o equivalentemente $x = \pm\sqrt a$ .
En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):

\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}

y es válida para todos los números no negativos

x

y

que no sean ambos cero.

La función $\sqrt x$ es continua para todos los números no negativos $x,$ y derivable para todos los números positivos $x$ (no es derivable para $x=0$ ya que la pendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada está dada por

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}

Las Series de Taylor de $\sqrt{x+1}$ en torno a $x=0$ se pueden encontrar usando el Teorema del binomio:

$\sqrt{x+1}\,\!$	$= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^2 4^n}x^n$
	$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$
converge para $\left\| x \right\| < 1$ .

Irracionalidad de las raíces cuadradas

Una propiedad importante de la raíz cuadrada de los números enteros es que, si estos no son cuadrados perfectos, sus raíces son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional, nunca un número racional.

Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.

Si $\sqrt n$ fuera racional se debería poder expresar como $\frac{p}{q}$ con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que $n = \frac{p^2}{q^2}$ , lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto $p^2$ como $q^2$ se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.

Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.

No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general.

Radicales jerarquizados cuadrados

En diferentes contextos se utilizan radicales de la forma

\sqrt{A + \sqrt{B}}

que en algunos casos puede ser escritos en la forma

\sqrt{A + 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}

lo que es factible si sólo si x + y = A, xy = B .^[12]^[13] Las expresiones anteriores se denominan radicales jerarquizados.

La identidad $2=\sqrt{2+2}$ implica que $2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}$ , y por repeticiones sucesivas:

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

Por razones análogas se obtiene:

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$ ;

o que

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}$ ;

Si r es una entidad estrictamente superior a uno,

$r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}$

Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi.^[14]

Fracciones continuas

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.

\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}\,

Aproximaciones enteras

Las primeras dadas por:

CUADRADO....:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...	15	16	17	...	24	25	26	27
RAÍZ	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	...	3	4	4	...	4	5	5	5

Una observación de los primeros términos ponen de manifiesto que la construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente:

El cero es repetido una vez.
El 1 tres veces.
El 2 cinco veces
El 3 siete veces.
El 4 nueve veces.

El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidad siguiente:

(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,

Extensión de la función raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número complejo

Raíz cuadrada compleja.

Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja.

Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se puede ver como encajan las dos hojas.

El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de cualquier número real negativo (e incluso de cualquier número complejo). Los números complejos pueden construirse definiendo un nuevo número abstracto, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y llamado unidad imaginaria, que satisface que $i^2 = -1\,\!$ . Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos $(-i)^2= i^2 = -1\,\!$ , así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. En general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

$\sqrt{-x} = \sqrt{-1}\sqrt{x} = \pm i\sqrt{x}$

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad en donde uno quiera

$\sqrt{\pm ix} = \sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}$

Por los argumentos dados, $i$ no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo $z$ , no podemos definir $\sqrt z$ para ser la raíz cuadrada “positiva” de $Z$ .

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que $w^2 = Z\,\!$ . Por ejemplo, las raíces cuadradas de $i$ son:

\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

- \sqrt{i} = - \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

La definición general de $\sqrt z$ está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r��e^iφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:

\sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i\phi \over 2}

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para $\sqrt{1+x}$ sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.

Ahora bien, sea un número complejo;

z = \sqrt{x + iy}

de este modo podemos expresar lo siguiente;

z = z_{re} + iz_{im} \;

elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación;

x + iy = z_{re}^2 - z_{im}^2 + i2z_{im}z_{re}

de manera que obtenemos un sistema de ecuaciones, que puede ser resuelto;

$z_{re}^2 - z_{im}^2 = x \;$
$2z_{im}z_{re} = y \;$

en este sentido, y en general, para un número complejo expresado en forma rectangular, por medio de estas fórmulas se obtiene:

\sqrt{x+iy} = \pm \left( \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} + i\ \sgn(y)\ \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}} \right).

donde $\left|x+iy\right| = \sqrt{x^2+y^2}$ (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando (ver función signo (sgn)). Esta fórmula puede ser usada para hallar las raíces de una ecuación ( no algebraica) con coeficientes en ℂ.

Observe que debido a la naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadrada en el plano complejo, la ley $\sqrt{zw} = \sqrt z \cdot \sqrt w$ es en general falsa, y tiene toda potencia en un conjunto determinado. Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de varias demostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que $-1 = 1\,\!$ :

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot (-1)} = \sqrt{1} = \pm 1

Donde la tercera igualdad tiene que ser vista como:

\sqrt{1} = 1 \longrightarrow \quad 1 \cdot 1 = 1^2 = 1

\sqrt{1} = -1 \longrightarrow \quad (-1) \cdot (-1) = (-1)^2 = 1

Al no considerarse, normalmente las dos ramas de la función raíz cuadrada, puede inducir a errores en la consideración de esta operación.

Cada número complejo se puede escribir en su forma polar como:

re^{i\theta} \;

ya que

ae^{i\alpha} \times be^{i\beta} = \left( ab \right). e^{i \left( \alpha + \beta \right). }

entonces es fácil ver que:

\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r}~e^{i\frac{\theta}{2}}

Caso forma polar

Sea el complejo $z = r(\cos{\alpha} + \mathrm{i}\sin{\alpha})$ entonces hay exactamente dos raíces cuadradas; la primera es:

\sqrt{z} = \sqrt{r}(\cos{\frac{\alpha}{2}} + \mathrm{i}\sin{\frac{\alpha}{2}})

Para la otra raíz se usa el argumento α/2+π, el módulo es el mismo^[15]

Caso entero gaussiano

Las raíces cuadradas de un entero gaussiano no siempre son enteros gaussianos, por lo general son números complejos.

Para el entero gaussiano i sus raíces son

\frac{\sqrt{2}}{2} +\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{-\sqrt{2}}{2} +\mathrm{i}\frac{-\sqrt{2}}{2}

^[16]

Para el entero gaussiano $-5 + 12 \mathrm{i}$ sus raíces cuadradas, en este caso enteros gaussianos, son:

2+ 3 \mathrm{i}

-2 -3 \mathrm{i}

En ciertos casos la raíz cuadrada de un entero gaussiano pitagórico puede ser entero gaussiano.^[17] Por ejemplo:

Una raíz cuadrada de

7+ 24 \mathrm{i}

4+ 3 \mathrm{i}

Raíces cuadradas en los cuaterniones

Con los números complejos está asegurado que sólo existe un número finito de raíces n-ésimas de la unidad. Así por ejemplo -1 tiene sólo dos raíces complejas i e −i. Sin embargo, en los números cuaterniónicos $\scriptstyle \mathbb{H}$ hay un número infinito de raíces cuadradas de -1: de hecho el conjunto de soluciones forma una esfera en el espacio tridimensional. Para ver esto, sea q = a + bi + cj + dk un cuaternión, y supóngase que su cuadrado es −1. En términos de a, b, c y d esa asunción implica que

$a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = -1,$

$2ab = 0,$

$2ac = 0,$

$2ad = 0.$

Este conjunto de ecuaciones reales tiene infinitas soluciones. Para satisfacer las últimas tres ecuaciones debe tenerse que a = 0 o bien b = c = d = 0, sin embargo, esta última posibilidad no puede darse ya que al ser a un número real la primera ecuación implicaría que a² = −1, pero eso es imposible para un número real. Por tanto a = 0 y b² + c² + d² = 1. En otras palabras. Nótese que sólo un cuaternión que sea igual a un número real negativo puede tener un número infinito de raíces cuadradas. Todos los demás tienen sólo dos raíces (o en el caso del 0 una única raíz). Dado un número cuaterniónico $a_0 + a_1i+ a_2j +a_3k$ (que no sea un real negativo) sus dos raíces cuaterniónicas son:

$\pm b_0 + \frac{a_1 i + a_2 j + a_3 k}{2b_0}, \qquad b_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a_0 + \sqrt{a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2}}$

Lo anterior implica que la ecuación:

$z_q^{2n} = 1, \qquad z_q\in\mathbb{H}, n\in\mathbb{N}.$

tiene infinitas soluciones, situadas sobre la esfera unidad.

Raíz cuadrada de matrices

La existencia de un producto de matrices permite definir la raíz cuadrada de una matriz como aquella matriz B que multiplicada por sí misma da la original A, es decir, B²=A luego B=√A.

Raíz cuadrada en cuerpo finito

Primero definamos los cuadrados, por ejemplo en F[7] el conjunto de los restos enteros módulo 7, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. El signo = significa congruencia.^[18] No todos los números de F[7] tienen.
1² = 1; 2² = 4; 3² = 2; 4² = 2; 5² = 4; 6²= 1; 0² = 0.

Diremos que a es la raíz cuadrada de b si a² = b; se denota $a = \sqrt{b}$ .

de la lista anterior se ve que

$\sqrt{1} = 1$ ;
$\sqrt{1} = 6$
$\sqrt{2} = 3$ ;
$\sqrt{2} = 4$ ;
$\sqrt{4} = 2$ ;
$\sqrt{4} = 5$ ;

Cálculo de raíces cuadradas

Hoy en día existen muchos métodos para calcular la raíz cuadrada, habiendo algunos aptos para el cálculo manual y otros mejor adaptados al cálculo automático.

Algoritmo

Cuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de ésta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemos ver que las partes de las que se compone; son:

Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
Radicando o cantidad subradical: es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.
Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.
Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.
Resto: es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

Utilizando logaritmos

Se simplifica el cálculo utilizando logaritmos y sus propiedades empleando la tablas de logaritmos o reglas de cálculo.

\!\, \sqrt[2]{x} = \operatorname{antilog} \frac{\log(x)}{2} \,

Algoritmos para máquinas

Calculadoras, hojas de cálculo y otros softwares también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la función exponencial y el logaritmo natural o logaritmo, computándose después la raíz cuadrada de x usando la identidad:

\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}

\sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}

Construcción geométrica de la raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número real se puede construir con regla y compás. En sus Elementos, Euclides (300 AC) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en sus proposiciones II.14 y VI.13. Dado que la media geométrica de $a$ y $b$ es $\sqrt{ab}$ , uno puede construir $\sqrt{a}$ simplemente tomando $b=1$ .

La construcción también fue dada por Descartes en su libro La Géométrie, vea la figura 2 en la segunda página.

Otro método de construcción geométrica (para las raíces de números naturales) usa triángulos rectángulos e inducción: $\sqrt{1} = 1$ puede, desde luego, ser construido, y una vez que $\sqrt{x}$ ha sido construido, el triángulo con 1 y $\sqrt{x}$ como catetos, tiene una hipotenusa de $\sqrt{x+1}$ .

Pasos a seguir para la construcción geométrica

AO = 1, OB = a, OH = x

Para "calcular" geométricamente la raíz cuadrada de un número real dado, lo que se hace es una construcción, mediante regla y compás, de un segmento que mida la raíz cuadrada de la longitud de un segmento original que tenga por longitud ese valor real dado.

Los pasos a seguir son los siguientes:

Trazamos un segmento $OB\,\!$ de longitud $a\,\!$ , es decir, de longitud igual al número del cual queremos calcular su raíz cuadrada.
Extendemos el segmento $OB\,\!$ en una unidad (según la longitud que hayamos tomado como unidad) de modo que tengamos el segmento $AB\,\!$ de longitud $a + 1\,\!$ .
Trazamos un círculo que tenga como diámetro el segmento $AB\!$ .
En el punto $O\,\!$ (que es donde empieza la extensión de longitud 1) trazamos una línea perpendicular a $AB\!$ . Esta línea corta a la circunferencia en dos puntos. Sea $H\,\!$ cualquiera de esos puntos. Entonces, resulta que el segmento $OH\,\!$ tiene una longitud: $OH = \sqrt a$ .

Esta construcción tiene su importancia en el estudio de los números constructibles.

Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB

Para demostrar esta igualdad, demostraremos que los triángulos $AOH\,\!$ y $HOB\,\!$ son triángulos semejantes:

El ángulo $H\,\!$ es un ángulo recto (de 90º) ya que $AB\,\!$ es la diagonal de un arco capaz.
El segmento $OH\,\!$ es perpendicular, por construcción, al segmento $AB\,\!$ . O sea que los dos ángulos con vértice en $O\,\!$ , $BOH\,\!$ (el derecho en el diagrama) como $HOA\,\!$ (el izquierdo en el diagrama) son ángulos rectos.
La suma de todos los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

Ahora teniendo en cuenta todo esto construimos el siguiente sistema de ecuaciones:

$180 = 90 + B + (90 - H_i)\,\!$
$180 = 90 + A + H_i\,\!$

Donde $H_i\,\!$ es el ángulo superior del triángulo izquierdo del cual desconocemos su abertura, las otras letras representan los otros ángulos que desconocemos y el ángulo $H_d\,\!$ se puede representar como la resta de $90 - H_i\,\!$ ya que 90º es el valor de $H\,\!$ entero. Al resolver la primera ecuación vemos que:

180 = 90 + B + 90 - H_i\,\!

;

H_i = B\,\!

Con lo que ya demostramos que estos ángulos miden lo mismo y al resolver el segundo:

90 = A + H_i\,\!

;

A = 90 - H_i\,\!

Con lo que al ser $90 - H_i = H_d\,\!$ se saca que $A = H_d\,\!$ y con esto queda demostrado que al medir todos los ángulos lo mismo son triángulos semejantes de manera $A H_i O_i\,\!$ ~ $H_d B O_d\,\!$ . Al poseer esta semejante los lados de los triángulos tienen una proporcionalidad igual para los tres lados tal que:

\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH} = \frac{HB}{AH}

Recordando que al construir geométricamente la raíz $AO\,\!$ siempre valía 1, con lo que cogiendo lo que nos interesa desarrollamos:

\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH}

;

OB = OH^2\,\!

;

OH = \sqrt{OB}

Quedando demostrada.

Raíces cuadradas útiles

Raíz cuadrada de 2.

Raíz cuadrada de 2

1^2+1^2 = x^2\,\!

x = \sqrt 2

Probablemente, la raíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional descubierto, cuyo descubrimiento le costó la vida a un correligionario de Pitágoras. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,4142135623. Aparece como seno y coseno de un ángulo de 45 grados sexagesimales. Hay varias fórmulas de recurrencia para hallar su valor aproximado. Una de ellas es el conocido método de la tangente de Newton. Su irracionalidad ya lo habían demostrado los griegos. Sin embargo, su fundamentación le debemos a Dedekind, Cantor en el siglo XX. Ciertamente, no viene a ser sino un límite igual que e, pi, tan útiles y esquivos porque nadie puede escribir sus infinitas cifras; pero basta con menos de 10 dígitos decimales para lo que hace la ciencia y tecnología.

Raíz cuadrada de 3

Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal de un cubo cuyas aristas miden 1.

La raíz cuadrada de 3: $\sqrt 3$ , también conocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), es geométricamente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristas miden la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras. También es la hipotenusa de un triángulo rectángulo construible cuyos catetos miden raíz cuadrada de 2 y la unidad respectivamente.

El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,7320508075

Raíz cuadrada de 5

La raíz cuadrada de 5: $\sqrt 5$ , aparece en la fórmula del número áureo, y es geométricamente la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente, comprobándose mediante el teorema de Pitágoras. Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es 2,2360679774.

Usos y casos

La raíz cuadrada se usa para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, conociendo los catetos. O uno de estos conociendo la hipotenusa y el otro cateto.
Para hallar el radio de un círculo conociendo su área.
En la detección de si un número entero positivo es primo; basta considerar como divisores primos, aquellos números primos que son menores que su raíz cuadrada, aproximada a unidades.
Para hallar el tiempo en el movimiento uniforme acelerado sin velocidad inicial.
Para conocer cuántos números impares iniciales, empezando desde el 1, se han sumado; usando como dato un cuadrado perfecto.
En una función cuadrática canónica, conociendo la ordenada, hallar las correspondientes abscisas.
Para calcular la diagonal de un cuadrado conociendo su área.
Para calcular la media cuadrática de datos positivos. ^[19]
Al calcular él área de un triángulo equilátero, donde interviene $\sqrt{3}$
Al obtener el área de un tetraedro regular, en función de su arista, se emplea $\sqrt{3}$ ^[20]
Al obtener el volumen de un tetraedro regular, en función de su arista, se usa $\sqrt{2}$
Para hallar la media proporcional c entre a y b. La altura de un triángulo conociendo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. La tangente a una circunferencia, conociendo la secante y su parte externa.
La $\sqrt{3}$ se usa en ciertas razones trigonométricas de un ángulo de 30º o 60º.
La $\sqrt{2}$ se emplea para definir el seno y coseno de un ángulo de 45º.^[21]
Al resolver una ecuación de segundo grado completa o de la forma x² = a, se usa la raíz cuadrada; en el primer caso si el determinante es negativo, y en la ecuación incompleta de segundo grado si a es menor que cero, hay que hallar la raíz cuadrada de un número negativo, que proporciona como raíces, dos números complejos conjugados. En el caso de que se tenga una ecuación de segundo grado con coeficientes complejos no reales, también se halla la raíz cuadrada, pero las raíces de la ecuación cuadrática, en este caso , no necesariamente, son conjugadas. ^[22]
En el caso de resolver la ecuación cúbica reducida y³ + py + q = 0, mediante la llamada fórmula de Cardano, necesariamente hay que hallar la raíz cuadrada de p³/27 + q²/4 = H; luego efectuar las raíces cúbicas de -q/2 + H y de -q/2 -H. ^[23]

Véase también

Cálculo de la raíz cuadrada
Cuadrado (álgebra)
Cuadrado perfecto
Fórmula de De Moivre
Función exponencial
Radicación
Raíz cuadrada de 2
Raíz cuadrada de 3
Raíz cuadrada de 5
Raíz cúbica
Raíz enésima de un número
Raíz de la unidad
Radical jerarquizado
Residuo cuadrático
Racionalización de radicales

Referencias

Notas

↑ Álgebra moderna- Estructura y método. Dolciani y otros. Publicaciones Cultural. México, Mexico 1986
↑ Espinoza. Diccionario de matemáticas. ISBN 84-8055-355-3.
↑ Alfhors. Complex Analysis
↑ Plausible generalización al caso de un anillo no conmutativo
↑ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. Nueva York: Springer-Verlag, 1994.
↑ Joseph, G. G., cap. 8.
↑ Boyer: Historia de la matemática
↑ Smith, David Eugene, pag. 148.
↑ Boyer, Carl Benjamin (1992): Historia de la matemática (pág. 360), traducido por Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X e ISBN 84-206-8186-5.
↑ Ifrah, Georges (1997): Historia universal de las cifras (pág. 1452). Madrid: Espasa-Calpe, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 e ISBN 84-239-9730-8.
↑ Milton Donaire Peña. Formas y números. Editorial San Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9
↑ Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria Plana[1986]
↑ Bruño G. M.: Elementos de Geometría [1980]
↑ Elementos de Geometría de Bruño, pp. 148, 149 y 150
↑ Aplicación del Teorema de De Moivre. En Variable compleja con aplicaciones de William R. Derrick ISBN 968-7270-35-7
↑ Se ha usado la forma polar de i
↑ El entero gaussiano (a,b) es pitagórico si existe un c entero tal que $a^2+b^2=c^2$ , Cf. Formas y figuras de Milton Donaire ISBN 978-612-45279-9-9
↑ Fraleigh: Algebra abstracta
↑ Galdós. Aritmética
↑ Formulario de Matemáticas «Cerebrito», Lima.
↑ Resultados que aparecen en manuales de geometría y de trigonometría o en textos universitarios de dichas disciplinas.
↑ Alhfords. Complex Variable. Tokyo 1956
↑ Adilson Gonçalvez. Introduçao à álgebra. Impa . Río de de Janeiro , 1939

Bibliografía

Stewart, James (2006). Cálculo: Conceptos y contextos. México D.F.: Thomson. ISBN 970-686-543-8 e ISBN 978-970-686-543-4.
Joseph, George Gheverghese (2000). The crest of the peacock: the non-European roots of mathematics (La cresta del pavo real: Raíces no europeas de la matemática). Londres. ISBN 0-691-00659-8 e ISBN 978-0-691-00659-8.
Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics (vol 2) special topics of elementary Mathematics (Historia de la matemática, vol 2, asuntos especiales de la matemática elemental). Boston. ISBN 0-486-20430-8 e ISBN 978-0-486-20430-7.
Anglin, W.S. (Diciembre de 1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy (Matemática: Una historia y una filosofía concisas). New York. ISBN 0-387-94280-7 e ISBN 978-0-387-94280-3.

Enlaces externos

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Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre raíz.Wikcionario
Programa java para hallar la raíz cuadrada de números enteros con muchísimas cifras decimales:

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