Radicación

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que \scriptstyle b^n = a, donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre[1]. La notación a seguir tiene varias formas:

(1)\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.

Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:[2]

(2)a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: \sqrt{x} en vez de \sqrt[2]{x}.La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

Dentro de los números reales \scriptstyle \R^+ positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar[2]. La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Dentro de los números complejos \scriptstyle \mathbb{C}, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

\sqrt[n]{x} = \exp\left(\frac{\ln {x}}{n}\right) = {e^{\frac {\ln x} n}}.

Este método es empleado comúnmente en calculadoras de bolsillo y otro tipo de hardware[3]. El problema es que dicho cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en (0,+ ∞). De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar \sqrt[3]{x}, \sqrt[5]{x} ... a los números positivos.

Propiedades


Como se indica con la igualdad de la raíz \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.

\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
Ejemplo

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
Ejemplo

Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

Ejemplos

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}.
Ejemplo


Potencia de una raíz

Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

\left(\sqrt[n]{a} \right)^m =\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}
Ejemplo
si 3 y 4
\left(\sqrt[4]{x} \right)^3 = \sqrt[4]{x^3} = \ x^{\frac{3}{4}}.

Otras propiedades

Utilizando las propiedades fundamentales, se pueden obtener otras propiedades interesantes, como por ejemplo, el cálculo de la raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.

\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}} = a^{\frac{m+n}{mn}} = \sqrt[m \cdot n]{{a}^{m +n}}.

Números complejos

Si z es un número complejo, entonces admite una representación mediante módulo y argumento (forma polar) de la forma:

z = a+bi = \rho e_{}^{i\theta}, donde \; \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \quad \theta = \arg(a+bi)

De esta manera, en forma polar, las raíces n-ésimas de z, necesarias para la ecuación x_{}^n=z, pueden ser calculadas por medio de la fórmula:

\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\rho e^{i\theta}} \,=\, \sqrt[n]{\rho}\,e^{i {\theta + 2 \pi k\over n} },\ k \in \{0,1,\cdots,n-1\}

Por tanto, un número complejo tiene n raíces enésimas distintas. En el plano complejo están dispuestas en los vértices de un polígono regular de n lados con centro en el origen del plano complejo. La raíz cúbica y la distancia del centro de dicho polígono a sus vértices es \sqrt[n]{\rho}

Ejemplo
\sqrt[3]1=\sqrt[3]{1\, e^{i0}} = \left \{ \begin{array}{ccc} \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi\cdot 0\over 3}} & = & 1+ 0i \\ \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi \cdot 1\over 3}} & = & -{1 \over 2}+ {\sqrt{3} \over 2}i\\ \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi \cdot 2\over 3}} & = & -{1 \over 2}- {\sqrt{3} \over 2}i \end{array} \right .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Taylor- Wade. Matemáticas básicas con vectores y matrices Editorial Limusa- Wiley, S.A. México
  2. 1 2 Haaser-La Salle-Sullivan, Análisis Matemático 1. Curso de introducción, Editorial Trillas ,México D. F. (1980),pg. 29
  3. ↑ The Museum of HP Calculators. «Scientific calculators, usage of exp» (en inglés). Consultado el 22 de diciembre de 2013.

Bibliografía

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