Rectángulo

Rectángulo ABCD.

En geometría plana, un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud. El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados.

P = 2 \cdot b + 2 \cdot a \,

El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos.

A = b \cdot a

Definición

Un rectángulo es una figura geométrica que tiene un ángulo interior de 90º. Es un paralelogramo, es decir todos sus lados son paralelos. ^[1].^[2].

Propiedades

Sus lados paralelos son iguales.
Sus dos diagonales son iguales, y se bisecan mutuamente o se cortan en el punto medio común; (esta característica también lo define). Este punto es el centro de la figura, en el sentido que toda recta que pasa por él, corta al rectángulo en dos puntos equidistantes del centro, por lo que define una simetría respecto a un punto para puntos del rectángulo ^[3].
Se puede pavimentar el plano, repitiendo infinitos rectángulos.
El rectángulo tiene dos simetrías axiales, respecto a ejes paralelos a sus lados y que pasan por el centro^[4]
Posiblemente, de modo empírico, en el antiguo Egipto se obtuvo la terna pitagórica 3 - 4 - 5, como medidas de los lados y la diagonal de un rectángulo, y lo usaron en la cuerda del agrimensor de 15 nudos^[5] ^[6]
Si se unen los cuatro puntos medios de los cuatro lados, mediante cuatro segmentos, se obtiene un rombo cuya área es la mitad de la del respectivo rectángulo.
Cualquier rectángulo se puede inscribir en una circunferencia, dos de cuyos diámetros coinciden con las diagonales del rectángulo.
Usando como base de un triángulo una base del rectángulo y el punto medio de del lado opuesto, como vértice opuesto, resulta un triángulo isósceles de área igual a la mitad de la del rectángulo.
Empleando como base de cualquier triángulo la base del rectángulo y como vértice opuesto un punto que dista como la altura del rectángulo, se obtiene una familia de triángulos equivalentes y cuyos vértices forman un lugar geométrico: la recta paralela a la base del rectángulo.^[7]
Si se unen los puntos medios M, N; P, Q de sendos lados de un rectángulo, mediante segmentos se genera el rombo MNPQ. ^[8]

Rectángulos con nombre propio

Rectángulo áureo.

El cuadrado se puede considerar un caso particular del rectángulo, en el que todos sus lados tienen la misma longitud.
El rectángulo áureo, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.

Véase también: Número áureo

Representación gráfica de un ortoedro que generaliza la construcción de un rectángulo, en el espacio euclídeo tridimensional.

Rectángulo $\sqrt{2}$ (rectángulo raíz de 2), aquel cuya relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h = $\sqrt{2}$ . El interés de este rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos mantienen exactamente la misma proporción que el original, o sea que son también rectángulos raíz de 2. Es por ello que, entre otros usos, es el formato utilizado para dimensionar las hojas de papel según las normas DIN 476 e ISO 216. Construcción partiendo del cuadrado: de forma similar al rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C.
Doble cuadrado

Magnitudes geométricas para un rectángulo

Dada una figura bidimensional pueden definirse los n-momentos de área centrados como:

$M^{(n)}_{x_1\dots x_n} = \int_A x_1\dots x_n\ dA$

El 0-momento coincide con el área, los dos 1-momentos se llaman primeros momentos de área (o momentos estáticos) $\scriptstyle S_x = M^{(1)}_x,\ S_y = M^{(1)}_y$ son nulos para cualquier figura plana. Los 2-momentos se llaman segundos momentos de área (o momentos de inercia planos) y para un rectángulo son:

$I_{xx} = M^{(2)}_{xx} = \frac{bh^3}{12}, \quad I_{yy} = M^{(2)}_{yy} = \frac{hb^3}{12}, \quad I_{xy}=I_{yx}= M^{(2)}_{xy} = 0$

Donde b es la base del rectángulo y h su altura.

Véase también

Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas

Referencias

↑ Michel Helfgott. Geometría plana, Editorial Escuela Activa S. A.
↑ No se dice que tiene únicamente un ángulo de 90º; sobre la base de ello, el ángulo opuesto es de 90º, por ser paralelogramo; los dos restantes suman 180º, como son opuestos son iguales, cada cual mide 90º
↑ Julio Rey Pastor et al. Geometría Analítica
↑ Clemens: "Geometría. Con aplicaciones y solución de problemas"
↑ Alsina: "La recta de los números. Teorema de Albert Einstein"
↑ Hoffmann: Historia de la Matemática
↑ Michel Helfgott. Op. cit.
↑ G.M: Bruño. Elementos de Geometría

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre rectángulos. Commons
Weisstein, Eric W. «Rectángulo». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Rectángulo.Wikiversidad

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