Recta real extendida

En matemática, la recta real extendida o recta real acabada, es un espacio métrico que se obtiene a partir de los números reales {\mathbb{R}} por la añadidura de dos elementos: + \infty y - \infty (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: \infty (punto del infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales.

La recta real extendida se denota por \overline{\mathbb{R}} o bien [+ \infty,- \infty]; es utilizada para describir varios comportamientos al límite en cálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración.

Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo + \infty se escribe simplemente \infty.

Definiciones

Límites

La necesidad de su definición, surge al describir el comportamiento de una función f(x), cuando o bien el argumento x o bien el valor de la función f(x) se vuelve «muy grande» en algún sentido.

Por ejemplo, la función f(x) = x^{-2} \ .

La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en f(x) = 0. Geométricamente, esto significa que conforme el valor de x crece (hacia la derecha del plano cartesiano), más se aproxima el valor de 1/x2 a 0 (el eje horizontal). Este comportamiento al límite es similar al del límite de una función en un número real, excepto que ahí no hay número real hacia el cual x se aproxima.

Añadiéndole los elementos +∞ y −∞ a R, se permite la formulación de "límite al infinito" con propiedades topológicas similares a las de R.

Medida e integración

En teoría de la medida, se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito.

Tales medidas surgen naturamente del cálculo. Por ejemplo, si se le asigna una medida a R correspondiente con la longitud usual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. También, si se consideran integrales no acotadas, como

\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}

surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de una sucesión de funciones, como

f_n(x) = \left \{ \begin{array}{lcl} 2n(1-nx) & si & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 0 & si & \frac{1}{n} < x \le 1 \end{array} \right .

Si no permitiesen valores infinitos a funciones, resultados tan esenciales como el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada no tendrían sentido.

Orden y propiedades topológicas

La recta real extendida se vuelve un conjunto totalmente ordenado definiendo −∞ ≤ a ≤ +∞ para todo a. Este orden tiene la agradable propiedad de que todo subconjunto tiene un supremo y un ínfimo: conforma un retículo completo.

Esto induce un orden topológico sobre R. En esta topología, un conjunto U es una vecindad de +∞ si y solo si contiene un conjunto {x: x > a} para algún número real a, y análogamente para las vecindades de −∞. R es un espacio de Hausdorff compacto homeomorfo al intervalo unidad [0, 1]. Luego esta topología es metrizable, corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica usual en este intervalo. No hay una métrica que sea una extensión de la métrica usual sobre R.

Con esta topología, se pueden definir especialmente los límites para x tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se reducen a la definición topológica de límites.

Propiedades aritméticas

Las propiedades aritméticas de R pueden extenderse parcialmente a R del siguiente modo:

\begin{align} a + \infty = +\infty + a & = +\infty, & a & \neq -\infty \\ a - \infty = -\infty + a & = -\infty, & a & \neq +\infty \\ a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\ a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\ \frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \in \mathbb{R}^+ \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \in \mathbb{R}^- \end{align}

Aquí, "a + ∞" significan ambos "a + (+∞)" y "a − (−∞)", y "a − ∞" significan ambos "a − (+∞)" y "a + (−∞)".

Las expresiones ∞ − ∞, 0 × (±∞) y ±∞ / ±∞ (llamadas formas indeterminadas) son usualmente indefinidas a la izquierda. Son reglas modeladas por las leyes de los límites infinitos. No obstante, en el contexto de la probabilidad o teoría de la medida, 0 × (±∞) se define a menudo como 0.

La expresión 1/0 no se define ni como +∞ ni como −∞, porque aunque es cierto que cuando f(x) → 0 para una función continua f(x) debe suceder que 1/f(x) está eventualmente contenida en toda vecindad del conjunto {−∞, +∞}, no es cierto que 1/f(x) deben tender a uno de estos puntos. Un ejemplo es f(x) = sin(x)/x. Esto deja de suceder al aplicar el valor absoluto a la función, quedando 1/| f(x) |, en ese caso se aproxima a +∞.

Propiedades algebraicas

Con las definiciones arriba expuestas, R no es un cuerpo ni un anillo, pero posee las siguientes propiedades:

En general, todas las leyes de la aritmética serán válidas en R siempre y cuando las expresiones que intervienen estén definidas.

Véase también

Referencias

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