Relación de orden

En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.

Definición

Sea $A$ un conjunto dado no vacío y $R$ una relación binaria definida en $A$ , entonces se dice que $R$ es una relación de orden^[1] si cumple las siguientes propiedades:

Reflexividad: Todo elemento de $A$ está relacionado consigo mismo. Es decir, $\forall x\in A, \; xRx$ .
Antisimetría: Si dos elementos de $A$ se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, $\forall x,y\in A, \; xRy, \; yRx \; \Rightarrow \; x=y$
Transitividad: Si un elemento de $A$ está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, $\forall x,y,z\in A, \; xRy , yRz \Rightarrow xRz$

Una relación de orden $R$ sobre un conjunto $A$ puede denotarse con el par ordenado $(A,\le)$ .

Relación de orden amplio

En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.^[2] La inclusión no es una relación de orden total.

Relación de orden total

Sea $A$ un conjunto dado, $\le$ es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de $A$ se relacionan entre sí, es decir,

$\forall x,y\in A, (x\le y) \vee (y\le x)$ .

Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es:
- Reflexivo: $\forall n\in\mathbb{N},$ entonces $n\le n$ (porque por definición, $n=n\,$ )
- Antisimétrico: $\forall n_1, n_2\in\mathbb{N},$ si $\; \; n_1\le n_2\; \;$ y $\; \; n_2\le n_1,\; \;$ entonces $n_1\le n_2\le n_1$ $\Rightarrow n_1=n_2$
- Transitivo: $\forall n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N},$ si $\; \; n_1\le n_2\; \;$ y $\; \; n_2\le n_3,\; \;$ entonces $n_1\le n_2\le n_3 \Rightarrow n_1\le n_3$
- Orden total, pues

Sean m y n dos números naturales, entonces m ≤ n ó n ≤ m.^[3]

Contraejemplo, (ℤ₊, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues

5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ₊, 12 ≠ 5h.^[4]

Relación de orden parcial

Sea $A$ un conjunto dado, $\le$ es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de $A$ se relacionan entre sí, es decir,

$\exists x,y\in A,$ tal que $(x\le y) \vee (y\le x)$ .

Ejemplo. Sea el conjunto $X=\{1, 2, 3\}$ y el conjunto potencia de $X$ , definido por:

\mathcal{P}(X)=\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\} \}

Entonces $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$ es parcialmente ordenado, pues sean

A=\{1\}, B=\{1,2\}, C=\{3\}\in\mathcal{P}(X),

A\subseteq B,

pero

(A\nsubseteq C) \wedge (C\nsubseteq A).

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa o bien ordenada

Véase también: Conjunto denso

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y y x ≠ y), existe otro z en X tal que x < z < y.

Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q₁ < q₂ entonces tenemos que q₃:= (q₁+q₂)/2 satisface que: q₁ < q₃ < q₂.
Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier real t existen los enteros k y k+1, tal que k ≤ t < k+1.^[5]

Véase también

Teoría del orden
Desigualdad matemática
Igualdad matemática

Esquema de temas relacionados

Teoría del orden

Bien ordenado

Orden total

Parcialmente ordenado

Preordenado

Relación reflexiva

Relación transitiva

Relación antisimétrica

Relación total

Relación bien fundada

Referencias

↑ BIRKHOFF (1948), p. 1.
↑ Rojas: Álgebra I
↑ Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91
↑ Rojas, Op. cit
↑ Esta propiedad permite definir la función máximo entero

Bibliografía

Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society.

Davey, B.A.; Priestley, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (en inglés). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. Parámetro desconocido |edição= ignorado (ayuda)

Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3. Parámetro desconocido |edição= ignorado (ayuda)

Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2.

Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1.

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