Relación reflexiva

En matemáticas, una relación reflexiva o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, $\forall x\in A,\;xRx$ .

En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de reflexividad.

Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que denotamos formalmente por:

\forall x\in A,\;\neg (xRx)

En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.

Representación

Sea $R$ una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Notación	Relación reflexiva	Relación antirreflexiva
Como pares ordenados	$\forall x\in A,\;(x,x)\in R$	$\forall x\in A,\;(x,x)\notin R$
Como matriz de adyacencia	La diagonal principal de la matriz contendrá sólo 1's, es decir, $\forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=1.$	La diagonal principal de la matriz contendrá sólo 0's, es decir, $\forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0.$
Como grafo	El grafo contendrá bucles en todos sus nodos.	El grafo no contendrá bucles en ninguno de sus nodos.

Ejemplos

Sea A un conjunto cualquiera:

Sea $(A,\cup )$ , $\cup$ es reflexiva, porque todo conjunto está contenido en sí mismo.
Sea $(A,\geq )$ , $\geq$ ("mayor o igual que") es reflexiva, pero $>\,$ ("mayor estricto que") no lo es.
Sea $(A,\leq )$ , $\leq$ ("menor o igual que") es reflexiva, pero $<\,$ ("menor estricto que") no lo es.
Sea $(A,=)\,$ , $=\,$ (la igualdad matemática), es reflexiva.
Sea $(A,\subseteq )$ , $\subseteq$ (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
Sea $(\mathbb {N} \backslash \{0\},\backslash )$ , $\backslash \,$ (la divisibilidad) es reflexiva.
Sea $X$ el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.
Sea $X$ el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de perpendicularidad $\bot$ entre dos rectas es antirreflexiva, porque no hay rectas que sean perpendiculares a sí mismas.
Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.

Véase también

Propiedades de la relación binaria homogénea:

Relación reflexiva
Relación irreflexiva

Relación simétrica
Relación antisimétrica

Relación transitiva
Relación intransitiva

Relación total

Relación bien fundada

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