Residuo (análisis complejo)

Se denomina residuo de una función analítica $f(z)$ en una singularidad aislada $z=z_0$ al número

$\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)dz$

donde $C$ representa una circunferencia de centro $z_0$ en cuyo interior no hay puntos singulares de la función salvo $z_0$ .

Cálculo de residuos

Si $f(z)$ tiene una singularidad evitable en $z_0$ , el residuo es $\operatorname{Res}(f(z),z_0)=0$ . Si $f(z)$ tiene un polo de orden $N$ en $z_0$ , entonces el residuo se puede calcular como:

\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, \frac{1}{(N-1)!} \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}}[(z-z_0)^N f(z)]

En particular, si $N=1$ (polo simple),

\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, (z-z_0) f(z)

Si el punto $z_0$ es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a $z_0$ . El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente $-1$ .

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Complex Residue». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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