Seno (trigonometría)

Seno
Gráfica de Seno
Definición	sen x
Dominio	$\mathbb{R}$
Imagen	[-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada	cos x
Función primitiva	-cos x + C
Función inversa	arcsen x
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En matemáticas el seno es una función continua y $2 \pi$ periódica es una función trascendente, su nombre se abrevia por sen.^[1]^[2]^[3]

$\sen \; x=-\sen (-x)$

$\sen \; x=-\sen (x + \pi)$

La función seno es: función impar y función periódica.

Representación gráfica.

En trigonometría, el seno de un ángulo $\alpha\,$ en un triángulo rectángulo de ángulo $\alpha\,$ se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

$\sen \alpha=\frac{a}{c}$

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

$\sen \alpha=a \,$

Etimología

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá-jya,^[4] siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».^[5]

Según otra explicación,^{[cita requerida]} la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Relaciones trigonométricas

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

$\sen \; \alpha=\;\;\;\sen \; ( \alpha + k 2 \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}$
Por inducción ya que aplicando un número par de veces $\sen \; \alpha=-\sen (\alpha + \pi)$ se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada $\frac{\pi}{2}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

\sen \alpha=\cos\left(\alpha- \frac{\pi}{2}\right)

Seno de la suma de dos ángulos

$\sen\left(\alpha +\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sen\beta$ $\sen\left(\alpha -\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sen\beta$
La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Seno del ángulo doble

$\sen\left(2\alpha\right)=2\sen\alpha\cos\alpha$
Como: $\sen\left(\alpha+\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sen\beta$ Bastará con el cambio $\beta=\alpha\,$

Seno del ángulo mitad

$\sen \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [2k\pi,(2k+1)\pi) \\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [(2k+1)\pi,2(k+1)\pi) \end{cases}\;, \;\;para\;k\in \mathbb{Z}$
Usando las fórmulas: $\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$ y $\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\theta-\sen^2\theta$ resulta: $\cos\left(2\theta\right)=1-2\sen^2\theta$ Representación de $y\;=\;\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}.$ y aislando $\sen \theta$ : $\vert \sen \theta \vert=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$ El cambio $\theta=\frac{\alpha}{2}$ corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno: $0<\sen \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [0,\,\pi)+2k\pi,$ $0>\sen \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [\pi,\,2\pi)+2k\pi$ donde $k\in\mathbb{Z}$ .

Suma de senos como producto

\sen a+ \sen b = 2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)

\sen a- \sen b = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)

Producto de senos como suma

\sen(A) \sen(B) = \sen^2 \left( \frac{A-B}{2} \right) - \;\sen^2 \left( \frac{A+B}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{A+B}{2} \right) - \;\cos^2 \left( \frac{A-B}{2} \right)

\sen(A) \sen(B) = \frac12 \left( \cos(A+B)- \cos(A-B) \right)

Seno en análisis matemático

Definición

La función seno puede definirse mediante la ecuación diferencial:

dx/dt=y

dy/dt=-x

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es $x=\sen(t)$ e $y=\cos(t)$ .

Derivada del seno

\sen'x=\cos x\,

Observación: $\sen'x=\sen(x+\frac{\pi}{2})$ .

Como serie de Taylor

El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:

\sen x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

\sen x = \sum^{\infin}_{n=0} \; (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Con números complejos

También se puede definir de la forma:

{\sen}\ z=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

El seno en programación

Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías, en caso de necesitar el seno de unos cuantos valores enteros es normal recurrir a vectores, eliminando así las llamadas a funciones frecuentemente lentas como el seno. Hay lenguajes en los que el ángulo recibido por la función es convertido a radianes.

Algunas calculadoras aceptan el valor en grado sexagesimal, centesimales o radianes, es una opción activable mediante el teclado:

Ejemplos:

Seno de 45 grados = 0,7071

Seno de 45 radianes = 0,8509.

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número Pi. Ejemplo de conversiones:

Rad = Deg * π/180

Deg = Rad * 180/π.

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: $\pi$ y 90º:

\sen \pi = 0

en caso del modo de radianes activo.

\sen 90 = 1

en caso del modo de grados sexagesimales activo.

Representación gráfica

Usos

En la astronomía, matemática, ingeniería, física y topografía.
En comunicaciones, telemática, estudio de oscilaciones, etc.^[6]

Véase también

Función impar
Función periódica
Sinusoide
Período de oscilación
Teorema del seno
Trigonometría
Función trigonométrica

Referencias

↑ Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Diccionario esencial de las ciencias. ISBN 84-239-7921-0. «Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez".»
↑ A. Bouvier y M. George. Diccionario de Matemáticas. AKAL. ISBN 84-7339-706-1. «Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen.»
↑ Equipo editorial. Enciclopedia didáctica de matemáticas. OCEANO. ISBN 84-494-0696-X. «Seno-> ... sen â ...»
↑ En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente a yia como 'yivá, que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.
↑ Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York.
↑ Ya. Zeldóvich, I. Yaglom: Matemáticas superiores. Editorial Mir, Moscú (1987), traducción de K. Medkov, impreso e la URSS

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Seno». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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