σ-álgebra

En matemática, una σ-álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto X es una familia Σ no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.

Definición

(σ-álgebra) Una familia de subconjuntos de X, representada por Σ, es una σ-álgebra sobre X cuando se cumplen las siguientes propiedades:

El conjunto vacío está en Σ: $\varnothing \in \Sigma$ .

Si E está en Σ, también está su complemento $\overline{E} = X\setminus E$ .

Si E₁, E₂, E₃, ... es una sucesión de elementos de Σ, entonces la unión (contable) de todos ellos también está en Σ.

Una σ-álgebra debe contener también al conjunto total X, ya que la segunda propiedad aplicada a $E=\varnothing$ tiene como consecuencia que $X\setminus E = X\setminus \varnothing = X$ pertenece a la σ-álgebra.

La aplicación de las leyes de De Morgan

$\overline{\bigcap_{i \in I} A_{i}}=\bigcup_{i \in I} \overline{A_{i}},\qquad \overline{\bigcup_{i \in I} A_{i}}=\bigcap_{i \in I} \overline{A_{i}}$

establecen que las intersecciones contables de sucesiones de conjuntos en la σ-álgebra también pertenecen a la σ-álgebra.

Los elementos de una σ-álgebra Σ se denominan conjuntos Σ-medibles (o simplemente conjuntos medibles, cuando no hay ambigüedad sobre Σ). Un par ordenado (X, Σ), donde X es un conjunto y Σ una σ-álgebra sobre éste, se denomina espacio medible. Una función entre dos espacios medibles se denomina medible si la preimagen de todo conjunto medible es también medible; esto es, si (X, Σ) y (Y, Ω) son dos espacios medibles, una función f:X→Y es medible si para todo E $\in \Omega$ , f⁻¹(E) $\in \Sigma$ .

Una medida es una cierta clase de función medible de una σ-álgebra en el intervalo [0,∞].

Ejemplos:

Si P(X) es el conjunto potencia del conjunto X entonces P(X) es una σ-álgebra sobre X (la mayor σ-álgebra posible sobre X).
Para cualquier conjunto X, el conjunto $\{\varnothing, X\}$ es una σ-álgebra sobre X (la menor σ-álgebra posible sobre X).
Si A es una colección de subconjuntos de X, la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a A es también una σ-álgebra, denotada por $\langle A \rangle$ o por $\sigma(A)$ y denominada σ-álgebra generada por A. Esta es por construcción la menor σ-álgebra posible que contiene a la colección A.
La familia de subconjuntos de X que son contables o de conjunto complementario contable (esta familia es distinta del conjunto potencia de X si y sólo si X es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los conjuntos unitarios de X.
Si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, a $\sigma(\tau)$ se le denomina σ-álgebra de Borel, la cual se suele denotar como $\mathfrak{B}(X)$ , y a sus elementos se les llama borelianos.
Cuando $X=\mathbb{R}$ , la σ-álgebra generada por la colección de todos los intervalos abiertos finitos se denomina álgebra de Borel (sobre $\mathbb{R}$ ).
El ejemplo anterior se puede generalizar a espacios topológicos arbitrarios: la σ-álgebra generada por todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico X es el álgebra de Borel asociada al espacio X.
En el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ , cabe destacar otra σ-álgebra: la formada por los conjuntos Lebesgue-medibles. Ésta contiene más conjuntos que el álgebra de Borel en $\mathbb{R}^n$ , y es la que se prefiere en teoría de integración.

Conjuntos y funciones medibles

Dado un espacio de medida $\scriptstyle \mathcal{M} = (A,\mathcal{A},\mu)$ se dice que un conjunto $\scriptstyle B \subset A$ es medible [propiamente $\scriptstyle \mathcal{M}$ -medible] si $\scriptstyle B \in \mathcal{A}$ .
Una función $f:\mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2$ entre dos espacios medibles se dice medible, si la preimagen de cualquier conjunto $\scriptstyle \mathcal{M}_2$ -medible es $\scriptstyle \mathcal{M}_1$ -medible, es decir:

$f\ \text{medible} \Leftrightarrow \forall B\in\mathcal{M}_2 \rightarrow f^{-1}(B) \in \mathcal{M}_1$

Véase también

Álgebra de conjuntos
Anillo de conjuntos

Bibliografía

Robert G. Bartle (1995) [1966]. The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226.
Medida e integración , Mauro Chumpitaz (1989) UNI- Lima.
Teoría de la medida, Mauro Chumpitaz (1991) UNI- Lima.

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