Sistema duodecimal

El sistema duodecimal es un sistema de numeración de base-doce, también llamado docenal.

Existen sociedades en Gran Bretaña y en los EEUU que promocionan el uso de la base-doce, argumentando lo siguiente:

Fracciones y números irracionales

En cualquier sistema de numeración posicional de base racional (como el decimal y el duodecimal), todas aquellas fracciones irreducibles cuyo denominador contenga factores primos distintos de los que factorizan la base, carecerán de representación finita, obteniéndose para ellas una serie infinita de dígitos de valor fraccionario (comúnmente llamados "decimales", si bien resulta absurdo emplear este término para bases distintas de la decimal). Además, esta serie infinita de dígitos presentará un período de recurrencia, dándose recurrencia pura cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta (aquella en la que hay dígitos fraccionarios al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base. Así pues, en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3; mientras que en base decimal se da esto cuando son distintos de 2 y 5:

Base decimal
Factores primos de la base: 2, 5
Base duodecimal / docenal
Factores primos de la base: 2, 3
Fracción Factores primos
del denominador
Representación posicional Representación posicional Factores primos
del denominador
Fracción
1/2 2 0,5 0,6 2 1/2
1/3 3 0,33333333... 0,4 3 1/3
1/4 2 0,25 0,3 2 1/4
1/5 5 0,2 0,249724972497... 5 1/5
1/6 2, 3 0,166666666... 0,2 2, 3 1/6
1/7 7 0,142857142857142857... 0,186A35186A35186A35... 7 1/7
1/8 2 0,125 0,16 2 1/8
1/9 3 0,11111111... 0,14 3 1/9
1/10 2, 5 0,1 0,1249724972497... 2, 5 1/A
1/11 11 0,0909090909... 0,11111111... B 1/B
1/12 2, 3 0,0833333333... 0,1 2, 3 1/10
1/13 13 0,076923076923076923... 0,0B0B0B0B0B... 11 1/11
1/14 2, 7 0,0714285714285714285... 0,0A35186A35186A35186... 2, 7 1/12
1/15 3, 5 0,066666666... 0,0972497249724... 3, 5 1/13
1/16 2 0,0625 0,09 2 1/14
1/17 17 0,05882352941176470588235294117647... 0,08579214B36429A708579214B36429A7... 15 1/15
1/18 2, 3 0,055555555... 0,08 2, 3 1/16
1/19 19 0,052631578947368421052631578947368421... 0,076B45076B45076B45... 17 1/17
1/20 2, 5 0,05 0,0724972497249... 2, 5 1/18
1/21 3, 7 0,047619047619047619... 0,06A35186A35186A3518... 3, 7 1/19
1/22 2, 11 0,04545454545... 0,066666666... 2, B 1/1A
1/23 23 0,0434782608695652173913043478260869565... 0,0631694842106316948421... 1B 1/1B
1/24 2, 3 0,04166666666... 0,06 2, 3 1/20
1/25 5 0,04 0,05915343A0B605915343A0B6... 5 1/21
1/26 2, 13 0,0384615384615384615... 0,056565656565... 2, 11 1/22
1/27 3 0,037037037037... 0,054 3 1/23
1/28 2, 7 0,03571428571428571428... 0,05186A35186A35186A3... 2, 7 1/24
1/29 29 0,03448275862068965517241379310344827586... 0,04B704B704B7... 25 1/25
1/30 2, 3, 5 0,033333333... 0,0497249724972... 2, 3, 5 1/26
1/31 31 0,032258064516129032258064516129... 0,0478AA093598166B74311B28623A550478AA... 27 1/27
1/32 2 0,03125 0,046 2 1/28
1/33 3, 11 0,0303030303... 0,044444444... 3, B 1/29
1/34 2, 17 0,029411764705882352941176470588235... 0,0429A708579214B36429A708579214B36... 2, 15 1/2A
1/35 5, 7 0,0285714285714285714... 0,0414559B39310414559B3931... 5, 7 1/2B
1/36 2, 3 0,0277777777... 0,04 2, 3 1/30

Por otra parte, en cualquier sistema de numeración posicional de base racional, todo número irracional no sólo carece de representación finita, sino que además su serie infinita de dígitos carece de periodo de recurrencia. A continuación se ofrecen los primeros dígitos de la representación en base duodecimal de varios de los números irracionales más importantes. Como puede apreciarse, resulta más sencillo memorizar los nueve primeros dígitos de pi en base duodecimal que en base decimal, mientras que ocurre al contrario con los diez primeros dígitos del número e:

Número irracional En base decimal En base duodecimal
π (pi, la proporción entre circunferencia y diámetro) 3,141592653589793238462643... (~ 3,1416) 3,184809493B918664573A6211... (~ 3,1848)
e (la base del logaritmo natural o neperiano) 2,718281828459... (~ 2,718) 2,875236069821... (~ 2,875)
φ (fi, el número de oro o razón dorada) 1,618033988749... (~ 1,618) 1,74BB67728022... (~ 1,75)
√2 (la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario) 1,414213562373... (~ 1,414) 1,4B79170A07B7... (~ 1,5)
√3 (la longitud de la diagonal de un cubo unitario, o el doble de la altura de un triángulo equilátero) 1,732050807568... (~ 1,732) 1,894B97BB967B... (~ 1,895)
√5 (la longitud de la diagonal de un rectángulo 1×2) 2,236067977499... (~ 2,236) 2,29BB13254051... (~ 2,2A)

Los primeros dígitos en base duodecimal de otro número destacable, la constante de Euler-Mascheroni, pero de la que por el momento se desconoce si es racional o irracional:

Número En base decimal En base duodecimal
γ (la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural) 0,577215664901... (~ 0,577) 0,6B15188A6758... (~ 0,7)

Tabla de multiplicar

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100

Búsqueda de números primos

En base 12, un número primo sólo puede acabar en 1, 5, 7 ó B (con las únicas excepciones de los números primos 2 y 3). Las ocho posibilidades restantes generan siempre números compuestos:

A continuación se lista la serie de números primos (hasta aquellos de menos tres dígitos) en base duodecimal:

En base duodecimal 2 3 5 7 B 11 15 17 1B 25 27 31 35 37 3B 45 4B 51 57 5B 61 67 6B 75 81 85 87 8B 91 95 A7 AB B5 B7 ...
En base decimal 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 ...

Véase también

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