Progresión aritmética

En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada «diferencia de la progresión», «componente» o incluso potencia.

Por ejemplo, la sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de cuadro constante 2, así como 5, 2, −1, −4 es una progresión aritmética de constante «−3».

Formulación

En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos cualesquiera de esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia. Esto se puede expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera:

a_{n+1}-a_n=d

Conociendo el primer término a₁ y la diferencia d, se puede calcular el enésimo término de la progresión mediante sustitución sucesiva en la relación de recurrencia

a_1,\, \underbrace{(a_1+d)}_{a_2},\, (\underbrace{\underbrace{a_1+d}_{a_2} +d}_{a_3}),\, \cdots \, ,\, (\underbrace{\underbrace{a_1+(n-2)d}_{a_{n-1}} +d}_{a_n})

con lo que se obtiene una fórmula para el término general de una progresión aritmética, escrita de manera compacta como:

(I) $a_n = a_1 + {(n-1)}{d} \,$

donde d es un número real cualquiera.

También se puede escribir el término general de otra forma. Para ello se consideran los términos a_m y a_n (m<n) de la progresión anterior y se ponen en función de a₁:

\begin{matrix} a_m = & a_1 + (m-1)d\\ a_n = & a_1 + (n-1)d \end{matrix}

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, se obtiene:

(II) $a_n = a_m + (n-m)d\,$

expresión más general que (I), pues da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de si la diferencia d en una progresión aritmética es positiva, nula o negativa, se tiene que:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.

Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)

d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.

Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)

d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.

Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d=-2)

Suma

La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

\sum_{i=1}^{n} a_i = { n (a_1 + a_n) \over 2} \,

donde $a_1$ es el primer término, $a_n$ es el último y $\Sigma$ es la notación de sumatorio.

Por ejemplo, considérese la suma:

2 + 5 + 8 + 11 + 14

La suma puede calcularse rápidamente tomando el número de términos n de la progresión (en este caso 5), multiplicando por el primer y último término de la progresión (aquí 2 + 14 = 16), y dividiendo entre 2. Tomando la fórmula, sería:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = \frac{5(2 + 14)}{2} = \frac{5 \times 16}{2} = 40.

Esta fórmula funciona para cualquier progresión aritmética de números reales conociendo $a_1$ y $a_n$ . Por ejemplo:

\left(-\frac{3}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3\left(-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)}{2} = -\frac{3}{2}.

Obtención de la fórmula

Sea una progresión aritmética de término general $a_n \,$ y de diferencia d, la suma de los n términos es:

\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)\,

aplicando la fórmula (II), cada término a₁, a₂, a₃, ..., a_m de la progresión se puede expresar en términos del enésimo como $\textstyle a_m = a_n - (n-m)d\,$ . Así :

\sum_{i=1}^{n} a_i = (a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n\,

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, se anulan todos los términos que están multiplicados por d:

2\sum_{i=1}^{n} a_i = n(a_1 + a_n)\,

de lo que se obtiene que

\sum_{i=1}^{n} a_i = n \frac{(a_1 + a_n)}{2} \,

Términos equidistantes

En cualquier progresión aritmética de diferencia d la suma del primer y último término es igual a la del segundo y el penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así sucesivamente. Es decir, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante, siempre que (n-k)≥1.

a_1 + a_n = a_{1+k} + a_{n-k} = 2 a_1 + (n-1)d=\mathrm{cte}\,

Si la progresión cuenta con un número impar de términos, el término central a_c es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a₁ y a_n de ésta.

Representado de esta manera, es muy sencillo deducir la fórmula de la suma de los n términos de la progresión, anteriormente descrita. Para el caso en el que el número de términos es par, hay n/2 sumas contantes, con valor (a₁ + a_n). Para el caso impar, hay (n-1)/2 sumas con valor (a₁ + a_n) más el término central, que está ubicado en la posición

c = \frac{n+1}{2} \,

Sustituyendo c en la fórmula (I) y operando un poco, el término también queda representado en función de (a₁ + a_n), como

a_c = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}=\frac{a_1 + a_n}{2}\,

por lo que en total, hay n/2 sumas con valor (a₁ + a_n) como en el caso par y la fórmula queda validada para todo n.

Ejemplos notables

Hallar la suma de los n primeros enteros positivos, corresponde a calcular la serie aritmética de los n términos de la progresión aritmética de diferencia d=1 y término inicial a₁=1:

1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \,

que, para cada valor de n, también se conoce como número triangular.

Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Carl Friedrich Gauss cuando tenía diez años. Su maestro, en la primera clase de aritmética, pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y él calculó el resultado de inmediato: 5050.^[1]

Producto

El producto de los términos de una progresión aritmética finita cuyo término inicial es a₁, diferencia d, y n elementos en total está determinado por la expresión en forma cerrada

\prod_{i=1}^{n} a_i = a_1a_2\cdots a_n = d \frac{a_1}{d} d \left ( \frac{a_1}{d}+1 \right )d \left (\frac{a_1}{d}+2 \right )\cdots d \left ( \frac{a_1}{d}+n-1 \right ) =d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right) },

donde $x^{\overline{n}}$ denota el factorial ascendente y $\Gamma$ denota la función Gamma. (Nótese sin embargo que la fórmula no es válida cuando $a_1/d$ es un entero negativo o cero.)

Esto es una generalización del hecho de que el producto de la progresión $1 \times 2 \times \cdots \times n$ es dado mediante el factorial $n!$ y de que el producto

m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!

para enteros positivos $m$ y $n$ viene dado por

\frac{n!}{(m-1)!}.

Tomando la fórmula de arriba, por ejemplo, el producto de los términos de la progresión aritmética dada por a_n = 3 + (n-1)5 hasta el 50-ésimo término es

P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(\frac{3}{5} + 50\right) }{\Gamma \left ( \frac{3}{5} \right )} \approx 3.78438 \times 10^{98}.

Véase también

Progresión geométrica

Referencias

↑ Sartorius von Waltershausen, W. (1966) [1856], Carl Friedrich Gauss: A Memorial, Translated by Helen Worthington Gauss, Colorado Springs, Colorado, consultado el 15 de enero de 2016

Weisstein, Eric W. «Arithmetic progression». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Arithmetic series». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Enlaces externos

Ejercicios con progresiones aritméticas

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