Teoría de números algebraicos

La teoría de números algebraicos o teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales.

Un campo de números algebraico es una extensión finita (algebraica) del campo de los números racionales. El anillo de enteros de un campo de números algebraico es el conjunto de los enteros en dicho campo, es decir, el subconjunto del campo que consta de los elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteros.

Se puede ver, y tratar, a un campo de números algebraico como un análogo de los racionales, y a su anillo de enteros como un análogo de los enteros. Ahora bien, la analogía no es perfecta: algunas de las propiedades familiares de los racionales y los enteros no se conservan, por ejemplo, la factorización única. (La teoría de ideales suple en parte la falta de factorización única.)

Los campos de números algebraicos, así como los campos de funciones, son llamados campos globales. Gran parte de la teoría se puede desarrollar de manera paralela para ambos tipos de objetos. La localización consiste en el pasaje de un campo global a un campo local: en el caso de los campos de funciones, este procedimiento consiste simplemente en dirigir la mirada a un punto en particular de la superficie o variedad estudiada, y concentrarse en cómo las funciones se comportan en su vecindad inmediata.

Referencias

Textos introductorios

• Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
• Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002

Textos intermedios

• Daniel A. Marcus, "Number Fields"

Referencias avanzadas

• Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (1967), Algebraic number theory, London: Academic Press, MR 0215665 
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin J. (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 27, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43834-9, MR 1215934 
• Lang, Serge (1994), Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics 110 (2 edición), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723