Teorema de Ostrowski

El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski, establece que cualquier valor absoluto no trivial sobre los números racionales Q es equivalente bien al valor absoluto real usual o a un valor absoluto p-ádico.

Dos valores absolutos | | y | |^* sobre un cuerpo C se dice que son equivalentes si existe un número real $i>0$ tal que

|x|^{*} = |x|^{i} \mbox{ para todo } x \in C.

Se define el valor absoluto trivial sobre cualquier cuerpo C como

|x|_0 = \begin{cases} 0, & \mbox{si } x = 0 \\ 1, & \mbox{si } x \ne 0. \end{cases}

El valor absoluto real sobre Q es el valor absoluto normal sobre los números reales, y se define como

|x|_{\infty} = \begin{cases} x, & \mbox{si } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{si } x <0. \end{cases}

Para un número primo p, se define el valor absoluto p-ádico sobre Q como sigue: cualquier número racional x distinto de cero se puede expresar de forma única como $x=p^{n} \frac{a}{b}$ , siendo a, b y p coprimos dos a dos y n entero (positivo, negativo o 0). Entonces

|x|_p = \begin{cases} 0, & \mbox{si } x = 0 \\ p^{-n}, & \mbox{si } x \ne 0. \end{cases}

Otros teoremas de Ostrowski

Otro teorema establece que un cuerpo arbitrario completo respecto del valor absoluto arquimediano es (algebraica y topológicamente) isomorfo a bien los números reales o bien los números complejos. Este teorema también se conoce como teorema de Ostrowski.

Temas relacionados

Valoración (matemática)
Valor absoluto

Referencias

Gerald J. Janusz (1996, 1997). Algebraic Number Fields (2ª edición). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
Nathan Jacobson (1989). Basic algebra II (2ª edición). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.

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