Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h}.

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo $[a,b]$ , definimos F sobre $[a,b]$ por $F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}$ . Si f es continua en $c \in (a,b)$ , entonces F es derivable en $c$ y F'(c) = f(c).

Usando la Regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

Demostración

Lema

Sea $f$ integrable sobre $[a,b]$ y

m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b]

Entonces

m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)

Demostración del lema

Está claro que $m(b-a)\leq L(f,P) \ \hbox{y}\ U(f,P) \leq M(b-a)$ para toda partición $P$ . Puesto que $\int_{a}^{b}f = \sup {L(f,P)}=\inf{U(f,P)}$ , la desigualdad se sigue inmediatamente.

Demostración

Por definición se tiene que $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }$ .

Sea h>0. Entonces $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}$ .

Se define $m_h$ y $M_h$ como:

m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

Aplicando el 'lema' se observa que

m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h

Por lo tanto,

m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h

Sea $h < 0$ . Sean

{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}

{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}

Aplicando el 'lema' se observa que

{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)

Como

F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}

entonces,

{M^*}_h \cdot h \leq F(c+h)-F(c) \leq {m^*}_h \cdot h

Puesto que $h < 0$ , se tiene que

{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h

Y como $f$ es continua en c se tiene que

\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)

y esto lleva a que

F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)

Ejemplos

F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \quad\Rightarrow\quad F'(x) = x^2

H(x) = \int_{0}^{e^{3x}} \sin(t) dt \quad\rightarrow\quad H'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} \cdot3

G(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad G'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

J(x) = \int_{0}^{\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt} \frac{1}{(1+\sin^2t)} dt\quad \rightarrow\quad J'(x)= \frac{1}{(1+\sin^2(\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt))} \,\cdot\, \frac{1}{(1+\sin^2x)}

Otra demostración

Cogiendo un intervalo cerrado $[a,x]$ sobre $[a,b]$ , ya que $f(t)$ es continua en $[a,b]$ , también lo será en $[a,x]$ .

Según el teorema del valor medio para integrales se cumple que:

$\exists \xi\in[a,x] : \quad f(\xi)= \frac{1}{x-a}\int_{a}^{x}f(t)dt$

Haciendo el intervalo muy pequeño de tal manera que $x \longrightarrow \ a$ y debido a esa tendencia se tiene también que $\xi \longrightarrow \ a$

Por lo que en los límites se llega a:

$\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{\int_{a}^{x}f(t)dt}{x-a}$

Sabemos que :

$\int_{a}^{a}f(t)dt = 0$

Entonces la ecuación se la puede escribir como :

$\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{\int_{a}^{x}f(t)dt - \int_{a}^{a}f(t)dt}{x-a}$

Dado que $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ , entonces $F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt$

$\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{F(x) - F(a)}{x-a}$

Y debido a que $f(t)$ es continua en a, entonces $\lim_{\xi \to a} f(\xi) = f(a)$

$f(a) = \lim_{x \to a} \frac{F(x) - F(a)}{x-a}$

Vista la ecuación de otra manera:

$f(x)|_{x=a} = \frac{dF(x)}{dx}|_{x=a}$

Por lo tanto

$\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$

O también

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt = f(x)$

Y en consecuencia

$\forall c\in(a,b) : \quad \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt\ |_{x=c} = f(c)$

Con ello se demuestra el primer teorema fundamental del cálculo.

Segundo teorema fundamental del cálculo

El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Enunciado

Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

Demostración

Considere la siguiente primitiva de $f$ definida en el intervalo $[a,b]$ .:

G(x)= \int_a^x f(t)dt

esto debido al primer teorema fundamental del cálculo el cual establece que:

G'(x)=f(x) {\ } \forall x \in [a,b]

Como $G$ y $F$ son primitivas de $f$ , entonces

\exists C \in \mathbb{R}: {\ }G(x)=F(x)+C, {\ } \forall x \in [a,b]

Observe que

0=G(a)=F(a)+c \,

y de eso se sigue que $c=-F(a) \,$ ; por lo tanto,

G(x) = F(x) - F(a) \,

Y en particular si $x=b$ :

\int_a^b f(t)dt = G(b) = F(b) - F(a)

Ejemplos

\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0

\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1

Como se puede integrar inmediatamente.

Véase también

Métodos de integración
Regla de Leibniz
Integral de Riemann

Referencias

APOSTOL, Cálculus
SPIVAK, Cálculo Infinitesimal

Enlaces externos

El descubrimiento del cálculo integral – Universidad Autónoma de Madrid
Interpretación gráfica del Teorema Fundamental del Cálculo – Manuel Sada Allo
Weisstein, Eric W. «Teorema fundamental del cálculo». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Demostración Euclidiana del TFC – James Gregory, en Convergence (en inglés)
Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus (en inglés)

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